6.1.4 求导法则及其应用-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

6. 1. 4　求导法则及其应用 第1课时　导数的四则运算法则 1. 能利用给出的基本初等函数的导数 公式和导数的四则运算法则, 求简单函数的 导数. 2. 会运用导数的四则运算法则, 求含 有和、 差、 积、 商综合运算的函数的导数. 　 要点 1　 函数和(或差)的求导法则 一般地, 如果 f(x), g(x) 都可导, 则 [ f(x) ±g(x)] ′= f ′(x) ±g′(x), 即两个函数之和的导数等于这两个函数 的导数的和. 若 h(x)= f(x) ±g(x), 则有 Δh Δx =h(x+Δx) -h(x) Δx 　 = f(x +Δx)±g(x+Δx)- [f(x)±g(x)] Δx = [f(x+Δx)-f(x)]±[g(x+Δx)-g(x)] Δx = Δf Δx ±Δg Δx . lim Δx→0 Δh Δx = lim Δx→0 Δf Δx ±Δg Δx( ) = limΔx→0 Δf Δx ± lim Δx→0 Δg Δx , 即 h′( x) = f ′( x) ±g′( x) . 上述法则可以推广到任意有限个函数 [ f1(x) ±f2(x) ±f3(x) ±…±fn(x)] ′ = f1′(x) ±f2′(x) ±…±fn′(x) . 　 　 思考　 已知一个函数 h(x)的导函数为 h′(x)= 3x2 +2x, 求函数 h(x)的解析式. 例 1　 求函数 f(x)= x3 +3x-8 在 x = 2 处 的导数值. 　 　 分析　 先求出函数的导数, 再求出切 点处的纵坐标和导数值, 利用点斜式求出 切线方程. 解: ∵ f(x)= x3 +3x-8, 则 f ′(x) = 3x2 + 3, 当 x= 2 时, f ′(2)= 15. 函数 f(x) = x-g(x)的图象在 x = 2 点处 的切线方程是 y= -x-1, 则 g(2) +g′(2)= (　 　 ) A. 7　 　 B. 4　 　 C. 0　 　 D. -4 　 要点 2　 函数乘积的求导法则 一般地, 如果 f(x), g(x) 都可导, 则 [ f(x)·g(x)] ′= f ′(x)g(x) +f(x)g′(x), 即 两个函数之积的导数, 等于第一个函数的导 数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第 二个函数的导数. 特别地, 当 g(x)是常值函数, 即 g(x) = C 时, 有 [Cf(x)] ′=Cf ′(x), 即常数与函 数之积的导数, 等于常数与函数的导数 之积. 　 　 思考　 证明 [ f(x)·g(x)] ′= f ′(x)· g(x)+f(x)g′(x) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 48 例 2　 求函数 f(x)= x3sinx 的导数. 解: f(x) = x3sinx, 则 f ′( x) = ( x3 ) ′· sinx+x3(sinx) ′= 3x2sinx+x3cosx. 　 　 反思感悟 一般地, [u(x) v(x)w(x)] ′= u′(x)· v(x)w(x) +u(x) v′(x)w(x) +u( x) v( x)· w′(x) . 曲线 f(x) = (x+1) cosx 在点(0, f(0)) 处的切线方程是　 　 　 　 . 　 要点 3　 函数的商的求导法则 一般地, 如果 f(x), g(x)都可导, 且 g(x) ≠0 时, 有 f(x) g(x) é ë ê ê ù û ú ú ′=f ′(x)g(x)-f(x)g′(x) g2(x) . 　 　 思考　 证明 h( x)= f(x) g(x) , 则 h′( x)= f ′(x)g(x)-f(x)g′(x) g2(x) . 例 3　 求下列函数的导数. (1) y= sinx x ; (2) y= x 2 lnx ; (3) y= 1 3x-1 . 解: (1) y′= sinx x( ) ′ = (sinx) ′x-sinx(x) ′ x2 = cosx·x-sinx·1 x2 = xcosx-sinx x2 . (2) y′= x 2 lnx( ) ′ = (x 2) ′lnx-x2(lnx) ′ (lnx) 2 = 2x·lnx-x2· 1 x ln