6.1.3 基本初等函数的导数-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

6. 1. 3　基本初等函数的导数 1. 能根据导数的定义求函数 y = c, y = x, y= x2, y= x3, y= 1 x , y= x的导数. 2. 能利用给出的基本初等函数的导数 公式和导数的四则运算法则, 求简单函数的 导数; 能求简单的复合函数[限于形如 f(ax +b)]的导数. 3. 会使用导数公式表. 　 要点 1　 导函数的概念 一般地, 如果函数 y= f(x)在其定义域内 每一个点 x 都可导, 则称 f(x)可导. 此时, 对定义域内每一个值 x, 都对应一个确定的 导数 f ′ ( x) . 于是, 在 f(x) 的定义域内, f ′(x)是一个函数, 这个函数通常称为 y = f(x)的导函数, 记作 f ′(x)(或 y′, y′x), 即 f ′(x)= y′= y′x = limΔx→0 f(x+Δx) -f(x) Δx , 导函数通常也简称为导数. 　 　 反思感悟 f ′(x)是函数 y = f(x)的导函数, 是一 个函数; f ′(x0)是 f ′( x)在 x = x0 处的导数 值, 是一个实数, 所以 f ′( x0)与 f ′( x)不 相同. 例 1　 利用定义求下列函数的导数. (1) y= 3; (2) y= x; (3) y= x2 . 解: (1) 根据定义可知, f ′( x) = lim Δx→0 f(x+Δx) -f(x) Δx = lim Δx→0 3-3 Δx = lim Δx→0 0 = 0. (2) 根据定义可知, f ′(x)= lim Δx→0 f(x+Δx) -f(x) Δx = lim Δx→0 (x+Δx) -(x) Δx = lim Δx→0 1 = 1. (3) 根据定义可知, f ′(x)= lim Δx→0 f(x+Δx) -f(x) Δx = lim Δx→0 (x+Δx) 2 -(x2) Δx = lim Δx→0 (2x+Δx)= 2x. 利用定义求 f(x)= x3 的导数. 　 要点 2　 导数公式表 函数 导数 f(x)= C f ′(x)= 0 f(x)= xα(α∈Q∗) f ′(x)= αxα-1 f(x)= ax(a>0 且 a≠1) f ′(x)= ax lna f(x)= ex f ′(x)= ex f(x)= logax(a>0 且 a≠1) f ′(x)= 1 xlna f(x)= lnx f ′(x)= 1 x f(x)= sinx f ′(x)= cosx f(x)= cosx f ′(x)= -sinx 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 45 　 　 思考　 证明(sinx) ′= cosx. 例 2　 利用公式求下列函数的导数. (1) f(x)= x-6; (2) y= 6x; (3) y= log3x; (4) y= sin π 3 ; (5) y= cos x+ π 2( ) ; (6) y= 4 x3 . 　 　 分析　 注意 y = ax(a>0 且 a≠1)与 y = xα(α∈Q)的导数的区别. 解: (1) f ′(x)= ( -6)x-7; (2) y′= 6x ln6; (3) y′= 1 xln3 ; (4) y′= 0; (5) ∵ y= cos x+ π 2( ) = -sinx; ∴ y′= -cosx; (6) ∵ y= 4 x3 = x 3 4 , ∴ y′= 3 4 x- 1 4 . 判断正误: (1) 函数在一点处的导数 f ′( x0 ) 为一 个常数; (2) 若 y= 2 , 则 y′= 1 2 ×2 = 1; (3) 若 f ′(x)= sinx, 则 f(x)= cosx; (4) 若 y= 1 x , 则 f ′(x)= 1 x2 . 例 3 　 观察 ( x2 ) ′ = 2x; ( x4 ) ′ = 4x3; (cosx) ′ = -sinx, 由归纳推理可得: 若定义 在 R 上的函数 f(x) 满足 f( -x) = f(x), 记 g(x)为 f(x)的导函数, 则 g( -x)= (　 　 ) A. f(x)　 　 　 　 　 　 B. -f(x) C. g(x)　 　 D