6.1.2 导数及其几何意义-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

6. 1. 2　导数及其几何意义 1. 理解瞬时变化率、 导数的概念. 2. 理解导数的几何意义. 3. 会用导数的定义及几何意义求曲线 在某点处的切线方程. 　 要点 1　 瞬时变化率与导数 一般地, 设函数 y = f(x)在 x0 附近有定 义, 自变量在 x = x0 处的改变量为 Δx, 当 Δx 无限接近于 0 时, 若平均变化率 Δf Δx = f(x0 +Δx) -f(x0) Δx 无限接近于一个常数 k, 那 么称常数 k 为函数 f(x)在 x = x0 处的瞬时变 化率. 此时, 也称 f(x)在 x0 处可导, 并称 k 为 f(x)在 x= x0 处的导数, 记作 f ′( x0 ) = k. 为了简单起见, “当 Δx 无限接近于 0 时, f(x0 +Δx) -f(x0) Δx 无限接近于常数 k” 也常用 符号 “ →” ( 读作 “ 趋向于” ) 表示为当 Δx→ 0 时, f( x0 +Δx) - f( x0 ) Δx → k, 或 者 写成 lim Δx→0 f(x0 +Δx) -f(x0) Δx = k, 即 f ′(x0)= limΔx→0 f(x0 +Δx) -f(x0) Δx . 　 　 思考　 瞬时变化率与平均变化率的区 别是什么? 瞬时变化率是否一定存在? 例1　 已知 f ′(x0)= 3, 则 limm→0 f(x0+3m)- f(x0) m = (　 　 ) A. 1 3 　 　 B. 1　 　 C. 3　 　 D. 9 　 　 分析　 利用瞬时变化率的定义, 配凑 出形式即可得到答案. 解析: lim m→0 f(x0 +3m) -f(x0) m = 3 lim 3m→0 f(x0 +3m) -f(x0) 3m = 3f ′(x0) = 9. (1) 若函数 y= f(x)在 x= x0 处可导, 则 lim h→0 f(x0 +h) -f(x0 -h) h = (　 　 ) A. f ′(x0) B. 2f ′(x0) C. -2f ′(x0) D. 0 (2) 求函数 y= 3x2 在 x= 1 处的导数. 某物体的运动路程 s(单位: m)与时间 t(单位: s)的关系可用函数 s( t) = t2 +t+1 表 示, 求物体在 t= 1 s 时的瞬时速度. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42 　 　 反思感悟 求函数 y = f ( x) 在点 x0 处的导数的 步骤: 求函数的变化量 → Δf= f(x0 +Δx) -f(x0) 　 　 　 ↓ 求函数的平均 变化率 → Δf Δx = f(x0 +Δx) -f(x0) Δx 　 　 　 |　 　 　 |　 　 　 |　 　 　 ↓ 取极限, 得导数 → f ′(x0)= limΔx→0 Δf Δx = lim Δx→0 f(x0 +Δx) -f(x0) Δx 　 要点 2　 导数的几何意义 函数 y= f(x)在点 x0 处的导数的几何意 义: f ′ ( x0 ) 就 是 曲 线 y = f(x) 在 点 ( x0, f(x0))处(也称在 x= x0 处)的切线的斜率. 　 　 思考　 导数的几何意义体现了什么数 学思想? 例 2　 已知点 P( x0, y0 )是抛物线 f(x) = 3x2 +6x+1 上一点, 且在点 P 处的切线斜 率为 0, 则点 P 的坐标为 (　 　 ) A. (1, 10)　 　 　 B. ( -1, -2) C. (1, -2) D. ( -1, 10) 　 　 分析　 根据导数的几何意义, 求 f(x) 的导数, 令其为 0, 解方程得到 P 点的 坐标. 解 析: ∵ k = lim Δx→0 f(x0 +Δx) -f(x0) Δx = lim Δx→0 (6x0 +3Δx+6)= 6x0 +6, ∴ 6x0 +6 = 0, 得 x0 = -1, ∴ y0 = f(x0 ) = f( -1) = 3×( -1) 2 +6× ( -1) +1 = -2, ∴ 点 P 的坐标为( -1, -2) . 故选 B. 如图, 函数 y = f(x)的图象在点 P 处的 切线方程是 y= - 1 3 x+