5.5 数学归纳法-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

5. 5　 数学归纳法 1. 了解数学归纳法的原理及适用范围. 2. 掌握数学归纳法证明的两个步骤和 一个结论. 3. 能用数学归纳法证明一些简单的数 学命题. 利用数学归纳法解决有关的问题主要涉 及以下几个方面: (1) 证明恒等式问题; (2) 证明不等式问题; (3) 证明数列中与猜想归纳有关的 问题; (4) 解决有关几何问题; (5) 解决有关整除性问题. 　 要点 1　 证明恒等式问题 例 1　 用数学归纳法证明: 1+3+…+(2n -1)= n2(n∈N+) . 证明: ①当 n = 1 时, 左边 = 1, 右边 = 1, 等式成立. ②假设当 n= k(k≥1)时, 等式成立, 即 1+3+…+(2k-1)= k2 . 那么, 当 n= k+1 时, 1+3+…+(2k-1) + [2(k+1) -1] = k2 + [2(k+1) -1] = k2 +2k+ 1 = (k+1) 2 . 这就是说, 当 n= k+1 时等式成立. 根据①和②可知, 等式对任意正整数 n 都成立. 　 　 反思感悟 用数学归纳法证明恒等式时, 应关注 以下三点: (1) 弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端 项的情况; (2) 弄清从 n = k 到 n = k+1 等式两端 增加了哪些项, 减少了哪些项; (3) 证明 n= k+1 时结论也成立, 要设 法将待证式与归纳假设建立联系, 并朝 n= k+1 证明目标的表达式变形. 用数学归纳法证明 1+2+3+…+(2n+1) = (n+1)(2n+1)时, 从 “n = k” 到 “n = k+ 1”, 左边需增添的代数式是 (　 　 ) A. (2k+1) +(2k+2) B. (2k-1) +(2k+1) C. (2k+2) +(2k+3) D. (2k+2) +(2k+4) 　 要点 2　 证明不等式问题 例 2　 试用数学归纳法证明: 1+ 1 22 + 1 32 + …+ 1 n2 <2- 1 n (n≥2, n∈N∗) . 证明: ①当 n = 2 时, 1+ 1 22 = 5 4 <2- 1 2 = 3 2 , 不等式成立. ②假设 n = k( k≥2, k∈N∗ ) 时不等式 成立, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 即 1+ 1 22 + 1 32 +…+ 1 k2 <2- 1 k , 则当 n= k+1 时, 1+ 1 22 + 1 32 +…+ 1 k2 + 1 (k+1) 2 <2- 1 k + 1 (k+1) 2 <2- 1 k + 1 k(k+1) = 2- 1 k + 1 k - 1 k+1 = 2- 1 k+1 , 不等式成立. 由①②知原不等式在 n∈N∗, n≥2 时 均成立. 　 　 反思感悟 用数学归纳法证明不等式往往比证明 恒等式难度更大一些, 方法更灵活些. 用 数学归纳法证明不等式的第二步时应注意 灵活运用证明不等式的一般方法, 如比较 法、 分析法、 综合法, 在具体的证明过程 中要注意当 n= k+1 时的递推目标, 有目的 地放缩、 分析直到凑出结论. 用数学归纳法证明不等式 1 n+1 + 1 n+2 +… + 1 2n >11 24 (n∈N∗)的过程中, 由 n = k 递推到 n= k+1 时, 下列说法正确的是 (　 　 ) A. 增加了一项 1 2(k+1) B. 增加了两项 1 2k+1 和 1 2(k+1) C. 增加了 B 中的两项, 但又减少了一 项 1 k+1 D. 增加了 A 中的一项, 但又减少了一 项 1 k+1 　 要点 3　 证明数列中与猜想归纳有关的问题 例 3　 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a1 = 3, Sn =an-1 +n2 +1(n≥2) . 求 a2, a3, a4 的值, 猜想数列{an}的通项公式并用 数学归纳法证明. 解: 当 n= 2 时, S2 =a1 +22 +1, 即 3+a2 = 8, 解得 a2 = 5; 当 n= 3 时, S3 =a2 +32 +1, 即 3+5+a3 = 15, 解得 a3 = 7; 当 n= 4 时, S4 =a3 +42 +1, 即 3+5+7+a4 = 24, 解