5.4 数列的应用-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

5. 4　 数列的应用 1. 正确理解分期付款的两种计算方式. 2. 能够利用等差(比)数列的知识解决 一些实际问题. 　 要点 1　 等差、 等比数列模型的应用 例 1　 一航模小组进行飞机模型实验, 飞机模型在第一分钟时间里上升了 15 m 高度. (1) 若通过动力控制系统, 使得飞机 模型在以后的每一分钟里, 上升的高度都比 它前一分钟上升的高度少 2 m, 达到最大高 度后保持飞行, 问飞机模型上升的最大高度 是多少; (2) 若通过动力控制系统, 使得飞机 模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前 一分钟里上升高度的 80%, 那么这个飞机模 型上升的最大高度能超过 75 m 吗? 请说明 理由. 　 　 分析 　 (1) 飞机模型每一分钟上升 的高度都比它前一分钟上升的高度少 2 m, 显然每分钟上升的高度成等差数列; (2) 飞机模型每一分钟上升的高度是它在前一 分钟里上升高度的 80%, 显然每分钟上升 的高度成等比数列. 解: (1) 由题意, 飞机模型每分钟上 升的高度构成 a1 = 15, d = - 2 的等差数 列, 则 Sn =na1 + n(n-1) 2 d = 15n+n(n -1) 2 ×( -2) = -n2 +16n. 当 n= 8 时, (Sn) max =S8 = 64, 即飞机模型在第 8 分钟上升到最大高度 为 64 m. (2) 不能超过. 由题意, 飞机模型每 分钟上升的高度构成 b1 = 15, q = 0. 8 的等比 数列, 则 Sn = b1(1-qn) 1-q = 75(1- 0. 8n) < 75, ∴ 这个飞机模型上升的最大高度不能超过 75 m. 　 　 反思感悟 解决数列应用题的思路和方法: (1) 认真审题、 准确理解题意, 明确 问题是属于等差数列问题还是属于等比数 列问题, 要确定 a1 与项数 n 的实际意义, 同时要搞清是求 an 还是求 Sn; (2) 抓住题目中的主要数量关系, 联 想数学知识和方法, 恰当引入参数变量, 将文字语言转化为数学语言, 将数量关系 用数学式子表达出来; (3) 将已知和所求联系起来, 列出满 足题意的数学关系式. 《九章算术》 是我国古代的数学名著, 书中有如下问题: “今有五人分五钱, 令上 二人所得与下三人等. 问各得几何. ” 其意 思为 “ 已知甲、 乙、 丙、 丁、 戊五人分 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 钱, 甲、 乙两人所得与丙、 丁、 戊三人所得 相同, 且甲、 乙、 丙、 丁、 戊所得依次成等 差数列. 问五人各得多少钱. ” ( “钱” 是古 代的一种质量单位) 这个问题中, 甲所得为 　 　 　 　 钱. 某人买了一辆价值 13. 5 万元的新车, 专家预测这种车每年按 10%的速度贬值. (1) 用一个式子表示第 n(n∈N+ )年这 辆车的价值; (2) 如果他打算用满 4 年时卖掉这辆 车, 他大概能得到多少钱? (小数点后保留 三位有效数字) 　 要点 2　 分期还款与数列 1. 等额本金还款法: 即将本金平均分 配到 每 一 期 进 行 偿 还, 每 期 还 款 金 额 贷款本金 还款期数 + ( 贷款本金 - 已还本金总额) × 利率. 2. 等额本息还款法: 即将本金和利息 平均分配到每一期进行偿还, 每期还款金额 = A0r(1+r)m (1+r)m-1 , 其中 A0 为贷款本金, r 为银 行贷款利率, m 为还款总期数. 例 2 　 某企业进行技术改造, 有两种 方案: 甲方案: 一次性贷款 10 万元, 第一年 便可获得利润 1 万元, 以后每年比上年增加 30%的利润; 乙方案: 每年贷款 1 万元, 第一年可获 得利润 1 万元, 以后每年比前一年多获利 5 000 元. 两种方案的期限都是 10 年, 到期一次 性归还本息. 若银行贷款利息均以年息 10% 计算, 试比较两个方案哪个获得纯利润更 多. (计算精确到千元, 参考数据: 1. 110 ≈ 2. 594, 1. 310≈13. 796) 　 　 分析　 由题意可知, 甲方案增长利润 率是定值, 银行利息成本基数为定值. 乙 方案