5.3.2 等比数列的前n项和-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

5. 3. 2　等比数列的前 n 项和 1. 探究解题方法, 能够正确推导出等 比数列的前 n 项和公式. 2. 能够依据等比数列的前 n 项和公式, 求解一些简单的等比数列的前 n 项和. 3. 能够通过等比数列的前 n 项和公式, 逆向求解出等比数列的基本量. 　 要点 1　 求解一些简单的等比数列的前 n 　 项和 主要体现在以下几个方面: (1) 等比数列的前 n 项和的公式: Sn = a1(1-qn) 1-q ; (2) 指数的运算: am·an =am+n; a m an =am-n . 例 1　 依据下列各题中的条件, 求相应 的前 n 项和. (1) a1 = 2, q= 2, 求 S6; (2) a1 = 3, q= - 3 2 , n= 5. 解: (1) 由题意可知, S6 = a1(1-q6) 1-q = 2×(1-2 6) 1-2 = 126. ( 2 ) 由 题 意 可 知, S5 = a1(1-q5) 1-q = 3× 1- - 3 2( ) 5 ( ) 1- - 3 2( ) = 165 16 . (1) 已知 a1 = -4, q= 1 2 , 求 S9; (2) 已知 a1 =1, ak =243, q=3, 求 Sk . 　 要点 2　 逆向求解出等比数列的基本量 例 2　 在等比数列中: (1) 已知 a1 = 2, S3 = 26, 求 q 和 a2; (2) 已知 q= 1 2 , S5 = 31 8 , 求 a1 和 a3 . 解: (1) Sn = a1 +a2 +a3, ∴ 26 = 2(1+q+ q2), 解得 q= 3 或 q= -4. 当 q=3 时, a2 =6; 当 q=-4 时, a2 =-8. (2) S5 =a1 +a2 +a3 +a4 +a5 = a1(1+q+q2 + q3 +q4)= 31 8 , 解得 a1 = 2, ∴ a3 =a1q2 = 1 2 . (1) 求等比数列 1, 2 , 2, …从第 5 项到第 10 项的和. (2) 等比数列{an}中, 公比 q = -2, S5 = 44, 则 a2 = (　 　 ) A. -8　 　 B. -4　 　 C. 2　 　 D. -2 (3) 设正项等比数列{an} 的前 n 项和 为 Sn, 若 S2 = 3, S4 = 15, 则公比 q= (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 　 要点 3　 利用等比数列前 n 项和性质求 　 解相关问题 主要体现在以下几个方面: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 (1) 等比数列的前 n 项和 an = a1qn -1 及 通项公式 Sn = a1(1-qn) 1-q ; (2) 基本初等函数的运算. 例 3　 若等比数列{an}的公比为 2, 且 a1 +a3 +…+a99 = 20, 则{an}的前 100 项和为 　 　 　 　 . 　 　 分析　 本题考查等比数列任意两项的 关系. 解析: 令 X=a1 +a3 +…+a99 = 20, Y= a2 + a4 +…+a100, 则 S100 =X+Y. 由等比数列前 n 项和性质知 Y X = q = 2, ∴ Y= 40, ∴ S100 =X+Y= 60. 一个项数为偶数的等比数列{an}, 全部 各项之和为偶数项之和的 4 倍, 前 3 项之积 为 64, 则数列的通项公式为　 　 　 　 . 　 要点 4　 等比数列的性质 前 n 项和性质体现在: (3) 数列{an} 为公比不为- 1 的等比数列 (或公比为- 1, 且 n 不是偶数), Sn 为其前 n 项和, 则 Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 仍构成等比数列. 例 4 　 在等比数列{ an } 中, 已知 Sn = 48, S2n = 60, 求 S3n . 解: 方法一: ∵ S2n≠2Sn, ∴ q≠1, 由已知得 a1(1-qn) 1-q = 48, ① a1(1-q2n) 1-q = 60, ② ì î í ï ï ï ï ï ï ②÷①得 1+qn = 5 4 , 即 qn = 1 4 , ③ ③代入①得 a1 1-q = 64, ∴