专题2.5 二次函数与线段最值面积最值综合应用（四大题型）-2023-2024学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题2.5 二次函数与线段最值/面积最值综合应用（四大题型） 重难点题型归纳 【题型1 线段差最大问题】 【题型2 线段和最小】 【题型3 周长最值问题】 【题型4 求面积最值】 【题型1 线段差最大问题】 【典例1】（2023•汝南县一模）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），其对称轴为x＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限． ①当△OAB的面积为15时，求点B的坐标； ②在①的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB取得最大值时，求点P的坐标． 【变式1-1】（秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？ 【变式1-2】（连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式； （2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标； 【题型2 线段和最小】 【典例2】（2023秋•泰山区校级月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线过B、C两点，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）求证：△AOC∽△ACB； （3）抛物线对称轴上是否存在点P使得PC+PA的最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（2023秋•淮北月考）已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，6），顶点为D（2，8）． （1）求此抛物线的解析式； （2）如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当|PB﹣PC|取得最小值时点P的坐标； 【变式2-2】（2023春•九龙坡区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC，其中A（﹣2，0），C（0，6）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC上方抛物线上一点，过点P作PE∥y轴交BC于点E，作PF∥x轴交BC于点F，求CF+BE的最小值，及此时点P的坐标； 【变式2-3】（2023秋•凤台县月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a，b是常数且a≠0）经过点B（1，0），该抛物线的对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）点A是抛物线的顶点坐标，AB与y轴交于点C，抛物线与y轴交于点D． （i）若点P是抛物线对称轴上一点，求PC+PD的最小值； 【题型3 周长最值问题】 【典例3】（2023秋•红桥区期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过A（﹣2，0），B（0，﹣2）两点，与x轴的正半轴交于点C． （Ⅰ）求a，b满足的关系式及c的值； （Ⅱ）若，设P是抛物线对称轴上的一个动点，当△ABP的周长取得最小值时，求点P的坐标； 【变式3-1】（2022•宜兴市二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线BD与y轴相交于点E． （1）求证OC＝OE； （2）M为线段OB上一点，N为线段BE上一点，当a＝时，求△CMN的周长的最小值； 【变式3-2】（2022•云南模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3） （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线对称轴上一点，求△PBC周长取得最小值时点P的坐标； 【变式3-3】（2022春•利津县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D． （1）求抛物线及直线AC的函数关系式； （2）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【题型4 求面积最值】 【典例4】（2023秋•抚远市期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． （1）求这个二次函数的表达式； （2）如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC交于点D，若E是直线AC上方抛物线上的一个动点，求△ECD 面积的最大值； 【变式4-1】（2023秋•和平区校级月考）如图，已知抛