第19章 19.3 专项9矩形、菱形、正方形的综合应用专项10与正方形有关的常考模型-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（华东师大版2012）

菱形与矩形的综合应用　　 如图，在矩形ABCD中，O为AC的中点，直线EF经过点O，并且与AB交于点E，与DC交于点F，∠DFE＝∠BFE. (1)求证：四边形DEBF是菱形； (2)若AD＝2，AB＝4，求线段EF的长． 菱形与正方形的综合应用　　 如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，连结CF. (1)当DG＝1时，求证：菱形EFGH为正方形； (2)设DG＝x(0≤x≤)，求△FCG的面积(用含x的代数式表示). 矩形与正方形的综合应用　　 已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是AB所在直线上任意一点，过点P分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足分别为E、F. (1)如图①，当点P在线段AB上时，PE＋PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明； (2)如图②，当点P在线段AB的延长线上时，求PE－PF的值． ①　　 ② 十字模型　　 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF.连结AE、BF，AE与BF交于点G.下列结论错误的是(　　) A．AE＝BF B．∠DAE＝∠BFC C．∠AEB＋∠BFC＝90° D．AE⊥BF 如图，在边长为10的正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连结AF、BE，且AF⊥BE，若AE＝4，求CF的长． 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，且AE＝DF，CE与AF相交于点G，求AF＋CE的最小值． 半角模型　　 如图，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，点E在CB的延长线上，连结AE，BE＝DN.若CM＝3，CN＝4，则EM的长是________. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，分别连结EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N. (1)求证：EF＝BE＋DF.为了证明“EF＝BE＋DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，连结AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程； (2)若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长． (南阳期末)已知正方形ABCD，点E、F分别是边AB、BC上的动点． (1)如图①，点E、F分别是边AB、BC的中点，证明：DE＝DF； (2)如图②，若正方形ABCD的边长为1，△BEF的周长为2，证明：∠EDF＝45°. 手拉手模型　　 (深圳南山区二模)正方形ABCD中，AC为对角线，点P在线段AC上运动，以PD为边作正方形DPFE，连结CE. 【初步探究】 (1)如图①，则AP与CE的数量关系是________，AP与CE的位置关系为________； 【探索发现】 (2)点P在线段AC及其延长线上运动时，如图①、②，探究线段CD、PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图③，连结AE，若AB＝，AE＝，求四边形DCPE的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项9　矩形、菱形、正方形的综合应用 1．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴∠OAE＝∠OCF. ∵OA＝OC，∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴AE＝CF，∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∵∠DFE＝∠BFE，∠DFE＝∠FEB， ∴∠BFE＝∠BEF，∴BE＝BF， ∴四边形DEBF是菱形． (2)解：如答图，过点F作FH⊥AB于H.设DF＝BF＝x， 在Rt△BCF中，∠BCF＝90°，BC＝AD＝2， CF＝4－x， ∴x2＝22＋(4－x)2，∴x＝， ∴DF＝，CF＝. ∵∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°， ∴四边形BCFH是矩形， ∴CF＝BH＝，FH＝BC＝2. ∵BE＝DF＝， ∴EH＝1， ∴EF＝＝. 2．(1)证明：当DG＝1时，DG＝AH＝1. ∵四边形EFGH为菱形，∴EH＝HG. 在Rt△AHE和Rt△DGH中， ∴Rt△AHE≌Rt△DGH(H.L.)， ∴∠AHE＝∠DGH. 又∵∠DGH＋∠DHG＝90°， ∴∠AHE＋∠DHG＝90°，∴∠GHE＝90°， ∴菱形EFGH为正方形． (2)解：如答图，过点F作FM⊥DC交DC所在直线于M，连结GE.∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE. ∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE， ∴∠HEA＝∠FGM. 在△AHE和△MFG中， ∴△AHE≌△MFG(A.A.S.)，∴FM＝HA＝1. 即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值1， ∴S△FCG＝GC·FM＝(3－x)×1＝－x＋. 3