2.1直线的倾斜角与斜率 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

背景意义 引导语:十六、十七世纪,为了描述现实世界中的运动变化现象,如行星的运动、平面抛体的运动等,需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画,运动变化进入了数学,变量观念成为数学中的重要理念.在众多数学家工作的基础上,法国数学家笛卡儿、费马集其大成,创立了坐标系,用坐标刻画运动变化.这是解析几何的创始. 它的基本内涵和方法是:通过坐标系,把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数(有序数对或数组)对应起来,在此基础上建立曲线(点的轨迹)的方程,从而把几何问题转化为代数问题,再通过代数方法研究几何图形的性质. 解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此进入变量数学时期,它为微积分的创建奠定了基础. 2025届 高二 数学 本章我们将在平面直角坐标系中,探索确定直线位置的几何要素,建立直线的方程,并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等. 类似地,通过确定圆的几何要素,建立圆的方程,再通过圆的方程研究与圆相关的问题;最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题. 2025届 高二 数学 第二章 直线和圆的方程 2025届 高二 数学 第二章 直线和圆的方程 2025届 高二 数学 2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.1倾斜角与斜率 2025届 高二 数学 学习目标 素 养 目 标 学 科 素 养 1.初步了解解析几何的产生及其意义,初步认识坐标法思想 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念. 3.理解并掌握过两点的直线斜率的计算公式,会求直线的倾斜角和斜率. 1、数形结合 2、化归转化 3、数学运算 4、数学抽象 2025届 高二 数学 我们知道,点是构成直线的基本元素.在平面直角坐标系中,可以用坐标表示点,那么,如何用坐标表示直线呢?为了用代数方法研究直线的有关问题,本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素,然后用代数方法把这些几何要素表示出来. 问题思考 2025届 高二 数学 问题思考 问题1:直线是最简单的几何图形之一,确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线,如何利用坐标系确定它的位置? 2025届 高二 数学 我们知道,两点确定一条直线,一点和一个方向也可以确定一条直线.设为直线上的两点,则就是这条直线的方向向量.所以,两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.在平面直角坐标系中,经过一点可以作无数条直线,它们组成一个直线束(如图),这些直线的区别是什么? 在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此,这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些直线的方向? 2025届 高二 数学 我们看到,这些直线相对于轴的倾斜程度不同,也就是他们与轴所成的角不同.因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向. 当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.图中直线的倾斜角为锐角,直线的倾斜角为钝角.当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为.因此直线的倾斜角的取值范围为 2025届 高二 数学 这样,在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同,倾斜角不相等.因此,我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度,也就表示了直线的方向. 下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法. 设,(其中)是直线上的两点.由两点确定一条直线可知,直线由点,唯一确定.所以,可以推断,直线的倾斜角一定与 两点的坐标有内在联系. 2025届 高二 数学 问题:在平面直角坐标系中,设直线的倾斜角为. (1)已知直线经过,,与,的坐标有什么关系? (2)类似地,如果直线经过,,与,的坐标又有什么关系? (3)一般地,如果直线经过两点,,,那么与,的坐标有怎样的关系? 下面我们利用向量法探究上述问题. 2025届 高二 数学 对于问题(1),如图,向量,且直线的倾斜角为.由正切函数的定义,有 对于问题(2),如图,向量 .平移向量到,则点的坐标为 ,且直线的倾斜角也是.由正切函数的定义,有 2025届 高二 数学 一般地,如图,当向量的方向向上时,且直线的倾斜角也是,由正切函数的定义,有 2025届 高二 数学 同样,当向量的方向向上时,如图,,也有 2025届 高二 数学 思考2:当直线与轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么? 综上可知,直线的倾斜角与直线上的两点,的坐标有如下关系:.① 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示,即.② 2025届 高二 数学 倾斜角是的直线没有斜率,倾斜角不是的直线都有斜率.例如,倾斜角时,这条直线的斜率;倾斜角时,这条直线的斜率. 由