第19章 19.3 专项10与正方形有关的常考模型-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套PPT课件（华东师大版2012）

八年级数学 华师版（下册） 　第19章　矩形、菱形与正方形 19．3　正方形 专项10　与正方形有关的常考模型 C 5 十字模型　　 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF.连结AE、BF，AE与BF交于点G.下列结论错误的是(　　) eq \o(\s\up7(),\s\do5()) A．AE＝BF B．∠DAE＝∠BFC C．∠AEB＋∠BFC＝90° D．AE⊥BF [解析]在正方形ABCD中， ∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝BC. 在△ABE与△BCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABE＝∠BCF，,BE＝CF，)) ∴△ABE≌△BCF(S.A.S.)，∴AE＝BF，∠AEB＝∠BFC，∠BAE＝∠CBF.∵∠DAE＋∠BAE＝90°，∠BFC＋∠CBF＝90°，∴∠DAE＝∠BFC，∠CBF＋∠AEB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴AE⊥BF.故A、B、D正确，C错误． 如图，在边长为10的正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连结AF、BE，且AF⊥BE，若AE＝4，求CF的长． eq \o(\s\up7(),\s\do5()) 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝CD＝10，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°. ∵AF⊥BE， ∴∠DAF＋∠BEA＝90°， ∴∠BEA＝∠AFD. 在△ABE和△DAF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEA＝∠AFD，,∠BAE＝∠ADF，,AB＝DA，)) ∴△ABE≌△DAF(A.A.S.)， ∴AE＝DF＝4， ∴CF＝CD－DF＝6. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，且AE＝DF，CE与AF相交于点G，求AF＋CE的最小值． eq \o(\s\up7(),\s\do5()) 解：如答图①.连结BE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝∠ADC＝90°. 在△ABE和△DAF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BA＝AD，,∠BAE＝∠ADF，,AE＝DF，)) ∴△ABE≌△DAF(S.A.S.)， ∴BE＝AF， ∴AF＋CE的最小值等于BE＋CE的最小值． 如答图②，作点B关于AD的对称点H，连结CH，CH与AD的交点即为所求的E点． 根据对称性可知BE＝HE， ∴BE＋CE＝CH. 在Rt△CBH中，BH＝2，BC＝1， ∴CH＝ eq \r(22＋12) ＝ eq \r(5) ， ∴AF＋CE的最小值为 eq \r(5) . ),\s\do5(①　　　　　②)) eq \o(\s\up7( 半角模型　　 如图，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠MAN＝45°，点E在CB的延长线上，连结AE，BE＝DN.若CM＝3，CN＝4，则EM的长是________. eq \o(\s\up7(),\s\do5()) [解析]∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，∴∠ABE＝90°. 在△ABE与△ADN中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠ABE＝∠D，,BE＝DN，)) ∴△ABE≌△ADN(S.A.S.)，∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN. ∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠DAN＝45°，∴∠BAE＋∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM. 在△EAM和△NAM中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AN，,∠EAM＝∠NAM，,AM＝AM，)) ∴△EAM≌△NAM(S.A.S.)，∴EM＝NM.∵在Rt△CMN中，CM＝3，CN＝4.∴MN＝ eq \r(CM2＋CN2) ＝5，∴EM＝5. 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，分别连结EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N. (1)求证：EF＝BE＋DF.为了证明“EF＝BE＋DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，连结AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程； (2)若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长． eq \o(\s\up7(),\s\do5()) (1)证明：画出辅助线如答图． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝∠ABE＝∠ABG＝90°， 在△ABG和△ADF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠ABG＝∠ADF，,BG＝DF，)) ∴△ABG≌△ADF(S.A.S.)， ∴∠DAF＝∠BAG