专题05 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（6大题型）-2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题05 二次函数与一元二次方程重难点题型专训（6大题型） 【题型目录】 题型一 求抛物线与x、y轴的交点坐标 题型二 由二次函数解一元二次方程 题型三 由二次函数的图象求不等式的解集 题型四 抛物线交点问题的综合 题型五 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 题型六 求x轴与抛物线的截线长 【知识梳理】 知识点：二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点：二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 【经典例题一 抛物线与x、y轴的交点坐标】 1．（22·23下·菏泽·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，且，则的值为（    ）    A． B．1 C．0 D．0或 2．（22·23下·齐齐哈尔·一模）如图，抛物线，与轴正半轴交于两点， 与轴负半轴交于点． ①；                ②； ③若点的坐标为，且，则； ④若抛物线的对称轴是直线，为任意实数； 则． 上述结论中，正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（新疆阿勒泰地区2023-2024学年九年级上学期期中联考数学试题）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．    4．（22·23下·抚州·阶段练习）已知抛物线的对称轴与轴交于点，点为，点为抛物线上的动点，当为等腰三角形时，点的坐标为 ． 5．（2023秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点且与y轴交于点B，点C在该抛物线上，横坐标为，将该抛物线B，C两点之间（包括B，C两点）的部分记为图象G．    (1)求此抛物线对应的二次函数表达式； (2)当时，二次函数的最大值是________，最小值是________； (3)图象G的最大值与最小值的差为3时，求m的值； (4)抛物线（b为常数）与x轴的另一交点为D，若点M在抛物线上，且在x轴下方，点N为x轴上一动点，当以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点N的坐标． 【经典例题二 由二次函数解一元二次方程】 1．（23·24上·河北·期中）抛物线（是常数，）经过，，三点，且．下列四个结论正确的是（    ） ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． A．②③④ B．①② C．②③ D．③④ 2．（23·24上·珠海·期中）如图，已知顶点为的抛物线经过点，下列结论：①；② ；③若点，在抛物线上，则；④关于x的一元二次方程的两根为和，其中正确的有（    ） A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④ 3．（23·24上·南通·阶段练习）二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程的两个实数根异号，则m的取值范围是 ．    4．（23·24上·松原·期中）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论： ； ； ； 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； 若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为 ．    5．（2023·湖北黄石·统考一模）阅读材料： 材料1．已知实数m、n满足，且，求的值． 解：由题意知m、n是方程的两个不相等的实数根，得， ∴ 材料2．如图，函数的图像，是一条连续不断的抛物线，因为当时，；当时，．可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间． 所以方程的一个根所在的范围是． 根据上述材料解决下面问题：    (1)已知实数m、n满足，，且，求的值． (2)已知实数p、q满足，，，且，求的值． (3)若关于x的一元二次方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取