专题27.2 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（人教版）

专题27.2 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型 【考点导航】 目录 【考点一 （双）A字型相似】 1 【考点二 （双）8字型相似】 7 【考点三 母子型相似】 16 【考点四 手拉手型相似】 21 【考点五 K字型相似】 26 【考点六 三角形内接矩形】 30 【典型例题】 【模型一 （双）A字型相似模型】 【基本模型】 ①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，． ②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔． 例题：如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【变式训练】 1．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为 ． 3．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 ． 4．如图，D是的边AC上的一点，连接BD，使． (1)说明． (2)，，求线段AC的长． 5．王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？ 6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，． （1）求证：DFBE； （2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB． 7．中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm? （2）若的面积为，求关于t的函数关系式． （3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似? 8．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：． （2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点． ①如图，若，直接写出的长； ②如图，求证：． 【模型二 （双）8字型相似模型】 【基本模型】 ①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔； ②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔． 例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【变式训练】 1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，正方形的边长为3，点在边上，交于点，交于点，交于点，若，则 ．    3．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 4．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【模型启迪】 （1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；    【模型探索】 （2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：； 【模型应用】 （3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长． 5．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点． （1）求证：∠BDE=∠ACD； （2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG； （3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2． ①求证：AB·BE=AD·BC； ②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值． 6．  如图，正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点，将沿