专题27.1 平行线分线段成比例、三角形相似的判定之六大考点-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（人教版）

专题27.1 平行线分线段成比例、三角形相似的判定之六大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 由平行判断成比例的线段】 1 【考点二 由平行截线求相关线段的常或比值】 3 【考点三 两角对应相等，两个三角形相似】 6 【考点四 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 10 【考点五 三边对应成比例，两个三角形相似】 13 【考点六 补充条件使两个三角形相似】 16 【过关检测】 18 【典型例题】 【考点一 由平行判断成比例的线段】 例题：（2023春·山西临汾·九年级统考开学考试）如图，在中，，，则下列比例式中正确的是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点二 由平行截线求相关线段的常或比值】 例题：（2023春·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，，如果，，，，那么 ． 【变式训练】 1．（2023·江苏南京·南师附中树人学校校考三模）如图，已知直线，如果，，那么线段的长是 ．    2．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则 ． 【考点三 两角对应相等，两个三角形相似】 例题：（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC． 【变式训练】 1．如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 3．如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：． 【考点四 两边成比例且夹角相等，两个三角形相似】 例题：如图，AB•AF＝AE•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△AEF． 【变式训练】 1．如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求证：△ACD∽△ABC． 2．如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4． (1)求AC的长； (2)若，求证：△ADE∽△ABC． 3．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC＝ °，BC＝　　　； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论． 【考点五 三边对应成比例，两个三角形相似】 例题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由． 【变式训练】 1．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，，，． 2．如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：． 3．如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点、、和、、都在正方形的顶点上．求证：． 【考点六 补充条件使两个三角形相似】 例题：如图，在中，，点在上（点与，不重合），若再增加一个条件就能使，则这个条件是________（写出一个条件即可）． 【变式训练】 1．如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 2．如图，已知相交于点O，若补充一个条件后，便可得到，则要补充的条件可以是________． 3．如图所示，在四边形中,AD∥BC，如果要使△ABC∽△ADC，那么还要补充的一个条件是________．（只要求写出一个条件即可） 【过关检测】 一、单选题 1．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在中，点D在边上，，若，则的值是(     )    A． B． C． D． 2．（2023春·山东潍坊·八年级统考期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 3．（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）如图，是平行四边形对角线上的点，若，，则的长为（    ）    A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（2023春·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，要使和相