上海市格致中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

 

格致中学2023学年第一学期高二年级数学期中

一、填空题：（本题共有12个小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）

1. ___________．

2. 若，，且，，则______（填“”、“”、“”、“”）.

3. 已知空间两个角，，且，的两边对应平行，，则为______．

4. 已知正方体的棱长为1，则异面直线与之间的距离是______.

5. 若，与、的夹角都是60°，且，，，则______.

6. 四面体的所有棱长均为2，则二面角的大小为______.

7. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为__________

 

8. 已知圆锥底面的半径为10，母线长为60，则底面圆周上一点沿侧面绕两周回到点的最短距离是______.

9. 已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为______.

10. 对下列命题：①两两相交的三条直线确定一个平面；②已知直线、和平面，若、与所成的角相等，则；③若两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面；④三个两两垂直的平面的相应交线也两两垂直，其中真命题的序号是______.（填上所有真命题序号）

11. 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为_____________．

12. 如图，在长方体中，

分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值

是______・

二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）

13. 已知平面上的一条直线和这个平面的一条斜线，则“垂直于”是“垂直于在平面上的投影”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

14. 给出下列命题，其中是假命题是（    ）

A. 存在每个面都是直角三角形的四面体

B. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直

C. 在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

15. 正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（    ）

 

A.  B.  C.  D.

16. 在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：

①的最小值为；    ②的最小值为；

③的最大值为；    ④的最大值为10.

其中，正确结论的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

三、解答题：（本题共有4大题，满分42分.解题时要有必要的解题步骤）

17. 如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，.

 

（1）证明：平面平面；

（2）求点到平面的距离.

18. 已知向量，．

（1）若，且，求x的值；

（2）设，求函数在上的最大值和最小值．

19. 《九章算术商功》：“斜解立方，得两斩堵.斜解暂堵，其一为阳马，一为鳖臑期马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣，”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”

如图，在鳖臑中，侧棱底面；