4.4 对数函数课件（第二课时）-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

对数函数 (2) 图 象 a>1 0<a<1 性 质 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) (4) 0<x<1时, y<0; x>1时, y>0 (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0 (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (1) 定义域： (0,+∞) (2) 值域：R x y o (1, 0) x y o （1, 0) (5)在(0,+∞)上是减函数 (5) 在(0,+∞)上是增函数 对数函数的图象和性质 例1.溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式为pH=－lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （Ⅰ）分析溶液酸碱度与溶液中氢离子浓度之间的关系？ （Ⅱ）纯净水[H+]=10--7摩尔/升，计算纯净水的酸碱度. [-2,+∞) (4,+∞) 例2 [归纳提升]　 1.求形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)复合函数单调性的具体步骤是： (1)求定义域； (2)拆分函数； (3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性； (4)按“同增异减”得出复合函数的单调性． 2．对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步骤： ①求定义域； ②分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； ③求u的取值范围； ④利用y＝logau的单调性求解． 2.已知函数 在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是（ ） A.（0，1） B.(1,2) C(0,2) D[2,+∞） 巩固练习 1.求函数y=loga(ax-1)（a>0且a≠1）的单调性. [正解] 令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数， 又根据对数函数定义域要求u＝2－ax在[0,1]上恒大于零， 当x∈[0,1]时，umin＝2－a>0，解得a<2. 根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1. 综上可得1<a<2，故选B． 例3. 已知 (a>0,a≠1) (1)求f(x)的定义域； (2)求使f(x)>0的x取值范围. 解：（1）由 >0, 得 -1<x<1 1+x 1-x 故所求的定义域为（-1，1） （2）当a>1时，由log >0=log 得 >1, a 1+x 1-x a 1 1+x 1-x 即 -1<x<1 1+x > 1-x 所以 x∈(0,1) 当0<a<1时,由log >0=log 得 0< <1, 1-x a a 1 1+x 1+x 1-x 即 -1<x<1 1+x < 1-x 所以 x∈(-1,0) 练习.函数 的奇偶性为（ ） A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数 C．非奇非偶函数 D．既奇且偶函数 判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域，函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称． 例4.求函数的值域 思考.已知函数 (1)当定义域为R时,求a的取值范围; (2)当值域为R时,求a的取值范围. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 探究：如何由y=2x求出x？ 由对数的定义可得　x=log2y。 　　在指数函数y=2x中，x为自变量（　　　），y是因变量（　　　　　），y是x的函数，而且在Ｒ上为单调递增函数。 　在上式中若把y 看成自变量，把x看成因变量，那么x是y的函数吗？ 函数x=log2y是函数y=2x的反函数 　习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为 y =log2x。 那么我们就说指数函数y=2x与对数函数y =log2x互为反函数。 反函数的概念 从 y ＝ ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )可以解得：x ＝ logay. 因此指数函数 y ＝ ax 的反函数是y＝logax 又因为 y ＝ ax 的值域为（0，＋∞） 所以 y＝logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )的定义域为（0，＋∞） 　　指数函数 y ＝ ax 的反函数是y＝logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )那么，它们的图象有什么关