专题11 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题之八大类型-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题11 难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题之八大类型 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 新定义型二次函数——关联抛物线】 1 【类型二 新定义型二次函数——友好二次函数】 5 【类型三 新定义型二次函数——衍生抛物线】 13 【类型四 新定义型二次函数——同轴对称抛物线】 19 【类型五 新定义型二次函数——孔像抛物线】 25 【类型六 新定义型二次函数——伴随抛物线】 32 【类型七 新定义型二次函数——美丽抛物线】 35 【类型八 新定义型二次函数——系列平移抛物线】 40 【典型例题】 【类型一 新定义型二次函数——关联抛物线】 例题：如果抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上时，那么我们称抛物线与 “互为关联”的抛物线．如图，已知抛物线：与：是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点． (1)直接写出A，B的坐标和抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点E，使得是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由； 【变式训练】 1．新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”，例如，抛物线的“关联抛物线”为已知抛物线：的“关联抛物线”为，与y轴交于点E． (1)若点E的坐标为，求的解析式； (2)设的顶点为F，若△OEF是以OF为底的等腰三角形，求点E的坐标； (3)过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，，于点M，N． ①当MN=6时，求点P的坐标； ②当时，的最大值与最小值的差为2a，求a的值． 【类型二 新定义型二次函数——友好二次函数】 例题：若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线：与抛物线：为“友好抛物线”． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上在第一象限的动点，过作轴，为垂足，求的最大值； (3)设抛物线的顶点为，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点逆时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式训练】 1．定义：若抛物线与抛物线的开口大小相同，方向相反，且抛物线经过的顶点，我们称抛物线为的“友好抛物线”． （1）若的表达式为，求的“友好抛物线”的表达式； （2）已知抛物线为的“友好抛物线”．求证：抛物线也是的“友好抛物线”； （3）平面上有点，，抛物线为的“友好抛物线”，且抛物线的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线与线段没有公共点时，求的取值范围． 2．【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：的“友好对称二次函数”为． 【特例求解】（1）的“友好对称二次函数”为______________；的“友好对称二次函数”为____________． 【性质探究】（2）关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是___________（填入正确的序号） ①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”； ②二次项系为的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身； ③的“友好对称二次函数”为． ④任意两个“友好对称二次函数”与y轴一定有交点，与x轴至少有一个二次函数有交点． 【拓屐应用】 （3）如图，二次函数与其“友好对称二次函数”都与y轴交于点A，点B，C分别在，上，点B，C的横坐标均为，它们关于的对称轴的称点分别力，，连接，，，． ①若，且四边形为正方形，求m的值； ②若，且四边形邻边之比为，直接写出a的值． 【类型三 新定义型二次函数——衍生抛物线】 例题：（2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末）小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验： (1)已知抛物线经过点，则b＝ ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点成中心对称的抛物线表达式是 ． 抽象感悟： 我们定义：对于抛物线，以y轴上的点为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”． (2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围． 问题解决： (3)已知抛物线． ①若抛物线y的衍生抛物线为，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a，b的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线y关于点的衍生抛物线为，其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为，…（为正整数）．求的长（用含n的式子表示）． 【变式训练】 1．我们定义：对于抛物线（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”． （1）已知抛物线经过点（-1，0），则b=_______，顶点坐标为_______，该抛物线关于点（0