专题10 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题之四大考点-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学下册重难点专题提优训练（北师大版）

专题10 难点探究专题：利用二次函数求面积、周长最值问题之四大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 1 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 13 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 19 【考点四 利用二次函数求周长最小值问题】 28 【典型例题】 【考点一 利用二次函数求面积最大值问题】 例题：（23·24上·淮南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 【变式训练】 1．（23·24上·大同·阶段练习）综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点．    (1)求直线与抛物线的解析式； (2)设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 2．（23·24上·中山·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于点、，与轴相交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点P为第二象限内抛物线上一动点，过点P作轴，交于点Q，设点P的横坐标为，的面积为S，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值． 3．（23·24上·邯郸·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式：______； (2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C、B不重合)，连接．设点D的横坐标为，的面积为S． ①求S关于的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，S有最大值，并求这个最大值． 4．（23·24上·江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴的交点为，两点，与y轴交于点，顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．    (1)求二次函数解析式及顶点D坐标； (2)点P为第三象限内抛物线上一点，的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在点F，使为等腰三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（23·24上·滨海新·期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点位于点的右边），与轴交于点，连接，是抛物线上的一动点，点的横坐标为．      (1)求抛物线对应的函数表达式以及，两点的坐标； (2)当点在第四象限时，面积是否有最大值？若有，求出点坐标以及最大面积；若没有，请说明理由； (3)是抛物线对称轴上任意一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，求的值． 6．（23·24上·省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点为．直线l与抛物线交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)直线与抛物线的对称轴交于点，为线段上一动点（点不与点，重合），过点作交抛物线于点，设点的横坐标为． ①当为何值时，四边形是平行四边形； ②设的面积为，当为何值时，最大？最大值是多少？ 【考点二 利用二次函数求面积最小值问题】 例题：（2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿边向点C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒，回答下列问题：    (1)运动开始后第几秒时的面积等于． (2)设五边形的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值． 【变式训练】 1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接，．动点P从A点出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒． (1)　　，　　； (2)在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段的值最小，则试求出点M的坐标． 【考点三 利用二次函数求周长最大值问题】 例题：（20