精品解析：河南省商丘市名校2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023—2024学年上期期中联考 高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 圆C：的半径为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 2. 已知直线，,则之间的距离为(　　) A. B. C. D. 3. 如果直线与直线垂直，那么m的值为（ ） A -2 B. C. D. 2 4. 如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，N是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 内含 D. 以上均有可能 6. 若圆O：过双曲线的实轴端点，且圆O与直线l：相切，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 7. 方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 金刚石是天然存在最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论不正确的是（ ） A B. C. D. 二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率越大，倾斜角越大 B. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 C. 过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 D. 已知直线和以，为端点线段相交，则实数k的取值范围为或 10. 已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（ ） A. B. C. D. 11. 在正三棱柱中，点P满足，其中，则（ ） A. 棱 B. 平面 C. D. 12. 已知直线l：交椭圆C：于不同两点A，B，且椭圆C经过点，，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆C离心率为 B. 椭圆C的焦距是 C. 的面积是（O是坐标原点） D. 椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 向量，的夹角为______. 14. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是______. 15. 在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，且，为的中点，，设直线与平面所成的角为，则______． 16. 定义：圆锥曲线C：的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆C的方程为，P是直线l：上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP（O是坐标原点），当为直角时，的值是______． 四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程； （2）已知中，，，，BC边中线所在直线为x轴，求AC边所在直线的方程． 18. 已知，，动点C满足，直线l：． （1）求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线； （2）若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，求实数m的值． 19. 如图，在四棱锥中，面，，且，，为的中点． （1）求证：平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 20. 在平面直角坐标系中，焦点在轴上的双曲线过点，且有一条倾斜角为的渐近线，直线与相交于两点． （1）求的标准方程； （2）若直线与该双曲线已知渐近线垂直，求的长度． 21. 某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段EF折起，连接就得到了一个“刍甍” (如图2)。 （1）若O是四边形对角线的交点，求证：平面； （2）若二面角的大小为求平面与平面夹角的余弦值. 22. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且，． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若，求PQ