专题02 数列（解答题12种考法） 讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）

专题02 数列（解答题12种考法） 考法一 数列通项和求和常见方法 【例1-1】（河北省沧州市联考2024届高三上学期10月月考数学试题）已知数列的前n项和为，且满足． (1)证明：是等差数列； (2)若，，数列的前n项和为，证明：． 【例1-2】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【变式】 1．（2023秋·广东广州·高三统考阶段练习）记为等差数列的前n项和，已知，. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前23项的和. 2．（2023·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知各项均为正数的数列，满足：，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4．（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和． 考法二 裂项相消常见形式 【例2-1】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在数列中，已知，，记． (1)证明：数列为等比数列； (2)记______，数列的前n项和为，求． 在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中并对其求解． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【例2-2】（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【例2-3】（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）设等比数列的前项和为，数列为等差数列，且公差，. (1)求数列的通项公式以及前项和； (2)数列的前项和为，求证：. 【变式】 1．（2023秋·福建厦门·高三厦门市湖滨中学校考阶段练习）已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和． 2.（2022·湖北·模拟预测）设正项数列的前项和为且，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 4.（2022·浙江·三模）已知数列的前项和为，且满足，，数列满足，，其中． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 5.（2022·天津南开）已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 考法三 分段函数 【例3-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 【例3-2】（2023·广东深圳·校考二模）已知是等差数列，，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，记，求. 【变式】 1．（江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三上学期10月联合调研数学试题）已知等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 2．（2023·海南·统考模拟预测）在①成等比数列，且；②，数列是公差为1的等差数列这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答． 问题：已知各项均是正数的数列的前项和为，且__________． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中学校考模拟预测）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列.. (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 考法四 插项数列 【例4-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列的首项，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求. 【例4-2】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和. 【变式】 1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）为数列的前项和，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和. 2．（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在数和之间插入个实