(教参)题型方法·真题分类卷(三)-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，浙江专用）

题型方法·真题分类卷(三)(见学生用书P163) 1．[2022·全国乙卷]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若＝，则＝(　B　) A．2 B．2 C．3 D．3 2．已知F1，F2是双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若＝5，则＝(　C　) A．1或9 B．3或7 C．9 D．7 3．已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　B　) A．＋y2＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 【解析】 设C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图所示， 设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x，所以|BF1|＝|AB|＝3x.由椭圆定义知|BF1|＋|BF2|＝2a，即4x＝2a.又|AF1|＋|AF2|＝2a＝4x，|AF2|＝2x，所以|AF1|＝2x.因此点A为椭圆C与y轴的交点，设其坐标为(0，b).由|AF2|＝2|BF2|可得点B的坐标为.因为点B在椭圆＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1，解得a2＝3.又c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. 4．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B.已知|OA|＝2|OB|(O为原点). (1)求椭圆的离心率． (2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，求椭圆的方程． 解： (1)设该椭圆的半焦距为c，由已知有a＝2b，又由a2＝b2＋c2，消去b，得a2＝＋c2，解得＝. 所以椭圆的离心率为. (2)由(1)知，a＝2c，b＝c，故椭圆方程为＋＝1. 由题意，F(－c，0)，则直线l的方程为y＝(x＋c). 联立消去y并化简，得到7x2＋6cx－13c2＝0，解得x1＝c，x2＝－，代入l的方程，解得y1＝c，y2＝－c. 因为点P在x轴上方，所以P. 由圆心C在直线x＝4上，可设C(4，t). 因为OC∥AP，且由(1)知A(－2c，0)，故＝，解得t＝2. 因为圆C与x轴相切，所以圆C的半径为2.又由圆C与l相切， 得＝2，解得c＝2(负值舍去). 所以椭圆的方程为＋＝1. 5．抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ.已知点M(2，0)，且⊙M与l相切． (1)求C，⊙M的方程． (2)设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由． 解： (1)因为x＝1与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)， 令x＝1，则y＝±， 根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方，故P(1，)，Q(1，－)， 因为OP⊥OQ，故1＋×(－)＝0，解得p＝， 故抛物线C的方程为y2＝x. 因为⊙M与l相切，故其半径为1，故⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝1. (2)设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3). 当A1，A2，A3其中某一个为坐标原点时(假设A1为坐标原点)， 设直线A1A2的方程为kx－y＝0，根据点M(2，0)到直线A1A2的距离为1可得＝1，解得k＝±， 联立直线A1A2与抛物线方程可得直线A2A3的方程为x＝3， 此时直线A2A3与⊙M的位置关系为相切． 当A1，A2，A3都不是坐标原点时，即x1≠x2≠x3，直线A1A2的方程为x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0， 此时，有＝1，即(y－1)y＋2y1y2＋3－y＝0， 同理，由对称性可得，(y－1)y＋2y1y3＋3－y＝0， 所以y2，y3是方程(y－1)t2＋2y1t＋3－y＝0 的两根， 依题意有，直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0， 令M到直线A2A3的距离为d，则有d2＝＝＝1， 此时直线A2A3与⊙M的位置关系也为相切． 综上，直线A2A3与⊙M相切． 6．[2022·全国甲卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为(　B　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋y2＝1 【解析】 因为离心率e＝＝＝，解得＝，b2＝a2. 又A1，A2分别为C的左、右顶点，则A1，A2，B为上顶点，所以B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，因为·＝－1，所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8， 故椭圆的方程为＋＝1. 7．[2022·全国甲卷]椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．