(教参)1.2 空间向量基本定理-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，浙江专用）

1.2　空间向量基本定理 [课程目标] 1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解.3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法． (见学生用书P10) 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__xa＋yb＋zc__． 其中{a，b，c}叫做空间的一个__基底__，a，b，c都叫做基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 知识点二　空间向量的正交分解 (1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量__两两垂直__，且长度都是__1__，那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示． (2)正交分解：把一个空间向量分解为三个__两两垂直__的向量，叫做把空间向量进行正交分解． [研读](1)只要是空间中三个不共面的向量都可以作为一组基底，所以基底的选取不是唯一的． (2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底． (3)以{a，b，c}为基底表示向量p，实数组(x，y，z)是唯一的． 判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若{，，}不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面．(　√　) (2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(　√　) (3)只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.(　×　) (4)已知{a，b，c}是空间的一个基底，则三个向量p＝a＋b，q＝a－b，r＝a＋2c也可以构成基底．(　√　) (5)空间任意三个向量都可以作为空间的一个基底．(　×　) 【解析】 (4)因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c都是非零向量且不共面，所以p，q，r是非零向量且不共面，可以构成基底． (5)空间中只有三个不共面的向量才能作为空间的一个基底． (见学生用书P11) 类型一 基底的判断 　　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 解： 假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y成立， 所以e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)， 即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面， 所以此方程组无解． 即不存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y，所以，，不共面．所以{，，}能作为空间的一个基底． [规律方法] 基底判断的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底． (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立关于λ，μ的方程组，若有解，则a，b，c共面，不能作为基底；若无解，则a，b，c不共面，能作为基底． 活学活用 已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量中能与a＋b，a－b构成基底的是(　C　) A．a B．b C．c D．a＋2b 【解析】 因为a＝(a＋b)＋(a－b)，b＝(a＋b)－(a－b)，a＋2b＝(a＋b)－(a－b)，所以ABD错误；因为{a，b，c}是空间向量的一个基底，所以a＋b，a－b，c能构成基底． 类型二 用基底表示向量 　　如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量，，表示和. 解： ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×(＋)＝＋＋. ＝＋＝＋＋＋＝＋＋. [规律方法] 基向量的选择和使用方法 (1)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底． (2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘向量． 活学活用 (1)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则向量＝(　B　) A．－a＋b＋c B．－a＋b－c C．－a－b＋c D．a－b＋c (2)在三棱柱ABC­DEF中，G为棱AD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　B　) A．－a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b＋c 类型三 基底的简单应用 　　如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为，且∠A1AB＝∠A