(课件)1.4 空间向量的应用-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，浙江专用）

1．4　空间向量的应用 1．4.1　用空间向量研究直线、 平面的位置关系 1．空间中点、直线和平面的向 量表示 2．空间中直线、平面的平行 第一章 空间向量与立体几何 目录 CONTENTS 新教材·知本与思辨 新教材·拓展与应用 01 02 [课程目标] 1.了解空间中点、直线和平面的向量表示.2.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念及求法．3.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系． 新教材·知本与思辨 新教材·知本与思辨 01 知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示 新教材·知本与思辨 点P的位 置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量______表示，我们把向量______称为点P的位置向量 新教材·知本与思辨 平行或共线 无数 新教材·知本与思辨 xa＋yb 方向向量 新教材·知本与思辨 知识点二　空间中平行关系的向量表示 新教材·知本与思辨 线线 平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔____________⇔存在λ∈R，使得____________ 线面 平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，l⊄α，则l∥α⇔____________⇔____________⇔ ______________________ 面面 平行 设两个不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔____________⇔存在λ∈R，使得____________ u1∥u2 u1＝λu2 u⊥n u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 n1∥n2 n1＝λn2 [研读]空间中三种平行关系：线线平行、线面平行、面面平行，最终都转化为相关空间向量的坐标运算，给研究空间中的平行关系带来很大方便． 新教材·知本与思辨 新教材·知本与思辨 × √ √ √ 新教材·拓展与应用 02 例1　如图所示，在空间直角坐标系Oxyz中，已知直三棱柱ABC­-A1B1C1，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，D在AB边上，且3AD＝2DB.分别求平面ABC1与平面CDB1的一个法向量． 类型一 求平面的法向量 类型一 求平面的法向量 类型一 求平面的法向量 [规律方法] 求平面法向量的步骤 (1)设法向量为n＝(x，y，z). (2)在已知平面内找两个不共线向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 类型一 求平面的法向量 (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋予特殊值，从而得到平面的一个法向量． 类型一 求平面的法向量 类型一 求平面的法向量 类型一 求平面的法向量 例2　　在长方体ABCD-­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. 类型二 利用空间向量证明线线平行 [规律方法] 证明两直线平行的方法 (1)利用平行直线的传递性． (2)基向量法，分别取两条直线的方向向量m，n，证明m∥n，即m＝λn. (3)坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，证明这两个方向向量共线． 类型二 利用空间向量证明线线平行 活学活用 如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 类型二 利用空间向量证明线线平行 类型二 利用空间向量证明线线平行 例3　　已知正方体ABCD-­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE. (2)平面ADE∥平面B1C1F. 证明： 如图所示，建立空间直角坐标系，则有 D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)， E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)， 类型三 利用空间向量证明线面、面面平行 类型三 利用空间向量证明线面、面面平行 类型三 利用空间向量证明线面、面面平行 [规律方法] 1．用向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. (2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． 类型三 利用空间向量证明线面、面面平行 (3)根据共面向量的充要条件可知，如果