专项11：2023-2024学年二次函数综合题分类专项--三角形相似问题

二次函数综合题分类专项--与相似三角形有关的问题 【典例剖析】例 如图，抛物线与y轴交于点C，过点C的直线于x轴交于点A，与抛物线交于点B，点B的横坐标为4. （1） 点D为x轴上一动点，连接CD，若△AOC∽△ACD，求点D的坐标； （2）点E为x轴上一点，连接BE，若△ABE与△AOC相似，求点E的坐标； （3）点G是抛物线对称轴上的动点，设抛物线的对称轴于BC相交于点H，且G与H不重合，当以G，H，B为顶点的三角形与△AOC相似，求点H的坐标； （4）点P在抛物线上，点Q在对称轴上，若△PQB∽△COA，求点P的坐标； （5） 点R(1,0)，点M是抛物线上一点，当△MOC与△MOD全等时，求点M的坐标. 【针对练习】1. 如图，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于点A(-1,0)，B(4,0)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿x轴正方向移动到B点. （1）求抛物线和 BC所在直线的解析式； （2）在动直线l移动的过程中，试求出使四边形 DEFP为平行四边形的点 P的坐标； （3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似? 如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 2. 如图，抛物线与x轴交于A，B(2,0)两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=，P是第一象限内抛物线上的一点. （1） 求抛物线的解析式； （2） 过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，请求出点P的坐标. 3. 如图，抛物线y=ax2+x+c经过点A(-2,0)，与y轴正半轴交于点C，且OC=2OA，抛物线的顶点为D，直线y=mx+n经过B，C两点，与对称轴交于点E． （1）求抛物线及直线BC的函数表达式； （2）点M是直线BC上方抛物线上的动点，连接MB，ME，得到△MBE，求出△MBE面积的最大值及此时点M的坐标； （3）直线y=kx(k>0)交线段BC于点H，若以点O，B，H为顶点的三角形与△CDE相似，求k的值． 4. 如图，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-x²+bx+c经过A，B两点，与x轴负半轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴与x轴交于点F，P为第一象限抛物线上的动点，直线BP交对称轴于点D. （1）求抛物线的解析式； （2）当BD=3PD时，求点P的坐标; （3）当点P在对称轴的右侧，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，当△BPQ与△BCO相似时，直接写出点Q的坐标. 5. 如图，抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点,与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点. （1）求抛物线的解析式； （2）点 N是y轴负半轴上的一点，且ON=点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO,QO与抛物线 的对称轴交于点M,连接MN,当MN平分∠OMD时,求点Q的坐标； （3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标. 6. 如图，已知点A(0,2)， B(-1,0)，将△OAB绕原点O顺时针旋转90°,得到△OCD，抛物线y=-x²+bx+c经过B，C两点. （1）求抛物线的解析式； （2）P为x轴上方抛物线上的动点，当△PAB和△PCD的面积相等时，求点P的坐标； （3）点M是线段CD上一个动点，过点M作MQ⊥CD，交抛物线与点Q. 当△QDM与△OAB相似时，请直接写出点M的坐标.