专项09：2023-2024学年二次函数综合题分类专项--正方形问题

二次函数综合题分类专项--与正方形有关的问题 【典例剖析】例 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. （1） 点D为抛物线的顶点，连接BD，坐标平面内是否存在点E，F（点E在点F的左侧）， 使得以点B，D，E，F为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在， 说明理由. （2） 点P是直线BC下方抛物线上一点，连接BP，以BP为边在图示一侧作正方形BPMN， 当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标. 例2 如图，抛物线y= -x2-2x+3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. （1） 点E为直线AC上一点，点F为抛物线上一点，点M为平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形为正方形，求点M的坐标. （2） 点P为抛物线对称轴上一点，点Q为对称轴右侧抛物线上一点，点N为平面内一点，若以点B，P，Q，N为顶点的四边形为正方形，求点N的坐标. 【针对练习】1. 如图，抛物线与x轴交于点A和点B(3,0)，与y轴交于点C(0，2)，点D是抛物线上一动点. （1）求抛物线的解析式； （2）如图，当点D在直线BC上方时，作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，当∠D=∠BCO时，求点D的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形BPDQ为正方形时，请直接写出点Q的坐标. 2. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(-1，0)，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，与抛物线交于点P，与x轴交于点E，连接BC，BP. （1）求抛物线的解析式； （2）点Q是抛物线上的一点，且∠PBA＝∠BCQ，请求出点Q的坐标； （3）点F是线段BP上的一点，点H在坐标平面内，在线段PE上是否存在点N，使得以F，N，H，E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+b与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，抛物线y=ax2-x+c经过A，B两点，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接FA，FB. （1）求抛物线解析式； （2）求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标． （3）在（2）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点D为直线y＝x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 5. 若二次函数的图象经过点A(-2，0)，其对称轴为直线x＝1，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点B． （1）求二次函数的解析式； （2）点M在线段AB上，过点M作MN⊥x轴于点N． ①若MN：NC＝2：5，求点M的坐标； ②以MN为对角线作正方形MPNQ，当点P在对称轴上时，求出点M的坐标． 6. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，与x轴交于原点和点E，顶点的坐标为(2,4)． （1）求二次函数的表达式； （2）大家知道二次函数的图像是一条抛物线，过O(0,0)，E(4,0)两点可以画无数条抛物线，设顶点为Q，过点Q向x轴、y轴作垂线，垂足为点M，N．求当所得的四边形OMQN为正方形时的二次函数表达式； （3）G点在（1）中求出的二次函数图像上，且G点的横坐标为1，H点是坐标平面上一点，点R在x轴上，是否存在以E，R，G，H四点为顶点的四边形是正方形，若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．