专项08：2023-2024学年二次函数综合题分类专项--矩形问题

二次函数综合题分类专项--与矩形有关的问题 【典例剖析】 例 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. （1）点D是抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由. （2）点F是抛物线上一点，且点F的横坐标为3，点G是直线AF上一动点，在平面内是否存在点H，使得以点B，C，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点H的坐标，若不存在，说明理由. （3） 线段OB绕O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，点P为抛物线上一动点，在平面内是否存在点Q，使得以点A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由. 【针对练习】1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点 C，其中点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3). （1）求抛物线的表达式； （2）若E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，点D的坐标为(0,-2)，求△DEF周长的最小值； （3）在抛物线上有一动点P，平面内有一点Q，使得以A，C，P，Q为顶点，以AC为边的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标. 2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+4与x轴交于A(-2,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C. （1）试求抛物线的解析式. （2）直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D，与抛物线在第一象限交于点P，与直线BC交于点M，记 m=，试求m的最大值及此时点P的坐标. （3）在（2）的条件下，m取最大值时，是否存在x轴上的点Q及坐标平面内的点N，使得P，D，Q，N四点组成的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q和点N的坐标；若不存在，请说明理由. 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c(a≠0)与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接 BC，OA=1，对称轴为直线x=2. （1）求抛物线的表达式； （2）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值； （3）点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点 Q，使以点B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标. 4. 如图，抛物线y=ax² +bx+c交y轴于点A(0,-4)，并经过点C(6,0)，过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，D点的坐标为(4,0)，连接AD，BC，BD. 点E从A点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于点F，以EF为对角线作正方形EGFH. （1）求抛物线的解析式； （2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标； （3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标；如果不存在，请说明理由. 5. 如图，将等腰Rt△ABC放在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，AC=BC，点A的坐标为(0,2)，点C的坐标为(1，0)，点B落在第一象限，抛物线经过A，B两点，点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m. （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线AB上方抛物线上时，连接OP，交AB于点D，当OD=3PD时，求m的值; （3）平面内是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-4x-5与x轴交于A，B两点(点A 在点B的左侧)，与y轴交于点C，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过B，C两点，D(2,5)是抛物线对称轴上一点. （1）求一次函数的解析式； （2）若点P是直线BC下方抛物线上一动点，当△BDP的面积最大时，求出此时点P的坐标； （3）将抛物线沿x轴向右平移两个单位，得到的新抛物线与x轴交于E，F两点(点 E 在点左侧)，若点 N为平面内一点，则新抛物线对称轴上是否存在点M，使得以D，