专项07：2023-2024学年二次函数综合题分类专项--菱形问题

二次函数综合题分类专项--与菱形有关的问题 【典例剖析】例 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C. （1）点D为x轴上一点，点E为平面内一点，若以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点E的坐标； （2）点G为抛物线对称轴上一点，点H为平面内一点，若以B，C，G，H为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点H的坐标； （3） 点P是直线BC上一点，点Q为平面内一点，若以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点Q的坐标. 例2 如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，点P为抛物线上一动点. （1） 平面内是否存在点D，使得以B，C，P，D为顶点的四边形是以BC为对角线的菱形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由； （2） 点F为点C下方y轴上一点，点P在第四象限，点Q为直线BC上一点，使得以C，F，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； 【针对练习】1. 如图，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A(3,0)，B(-1,0)两点，交y轴于点C，动点P在 抛物线的对称轴上. （1）求抛物线的表达式. （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长. （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2. 已知：P、Q是方程x2－6x＋5＝0的两个实数根，且p<q，抛物线y＝-x2＋bx＋c的图象经过点A(p，0)，B(0，q)． （1）求这个抛物线的解析式； （2）若点M在直线CB上，点N在平面上，直线CB上是否存在点M，使以点C，D，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 如图，抛物线y=ax²+x+c(a≠0)交x轴于点A(4,0)、B,交y轴于点C(0,4). （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点E是OA的中点,点D是线段BE上一点(不与点B、E重合)，过点D作x轴的垂线，交 直线CE于点M，交抛物线于点N，若直线MN到y轴的距离为，求点M与点N之间的距离； （3）如图2，点F在抛物线的对称轴上且在x轴上方，点G在坐标平面内，当以点B、C、F、G为顶点 的四边形为菱形时，请直接写出点F的坐标. 4. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC=90°，以A为顶点的抛物线y=-x²+bx+c经过点C(3,0)，交y轴于点E(0,3)，动点P在对称轴上. （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 从 A 点出发,沿 A→B 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点 P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大? 最大值是多少? （3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点 P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的点M坐标；若不存在，请说明理由. 5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c与x轴分别交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C(0,-3),连接 BC. （1）求抛物线的解析式及点B的坐标. （2）如图，点P为线段 BC上的一个动点(点P不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点 Q，求线段PQ长度的最大值. （3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B