专项06： 2023-2024学年二次函数综合题 分类专项--平行四边形问题

二次函数综合题分类专项--与平行四边形有关的问题 【典例剖析】例 已知抛物线y=x2+6x+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，P为抛物线上一点. (1)D是平面内的一点，当以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求点D的坐标； （2）抛物线的顶点为M，直线AC交直线l于点E，过P作PF∥y轴交直线AC于点F，当以M，E，P，F为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； （3） 若G是对称轴上的点，当以点A，C，P，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点G的坐标； （4）连接AC交直线l于点E，若H是x轴上一点，当以A，E，P，H为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标. （5）点N是抛物线上一点，且横坐标为-6，点Q为直线AC上一点，当以点A，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标； 【针对练习】1. 如图，抛物线经过点A(﹣4,0)，点M为抛物线的顶点，点B在y轴上， 且OA=OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6)，如图． （1）求直线AB和抛物线的表达式； （2）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线l. （1）求点A,B,C的坐标; （2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，当OE=4DF时,求四边形DOBF的面积; （3）在(2)的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 3. 如图，平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²+bx+3(a≠0)经过点A(-1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C. （1）求抛物线的表达式. （2）若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当m取何值时，使得AN+MN有最大值并求出最大值. （3）若点P为抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形? 若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由. 4. 如图，已知抛物线y=ax²+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C. 点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP与BC交于点M. （1） 求抛物线的解析式； （2）当时，求出点P的坐标； （3）当最大时，N为直线BC上的一点，G为y轴上的一点，以点B, P, N, G为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标. 5. 如图, 抛物线与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C. （1）请直接写出点A, B,C的坐标. （2）点P(m, n)(0<m<6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大? 并求出△PBC面积的最大值. （3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点 F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由. 6. 如图，抛物线与x轴交于A(-3,0)，B两点，与y轴交于点C(0,2)，连接AC. （1）求该抛物线的表达式； （2）若抛物线的对称轴与直线 AC 的交点为点Q，在抛物线上存在点 P，在x轴上存在动点N，使得以P，Q，C，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标. 7. 如图，在直角坐标系中，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0, 3), 对称轴为直线x=-1，顶点为点D. （1）求二