专项05：2023-2024学年二次函数综合题分类专项--等腰直角三角形，等边三角形，锐角三角形，钝角三角形问题

二次函数综合题分类专项---- 与等腰直角三角形等边三角形，锐角三角形，钝角三角形有关的问题 1. 如图，抛物线y=x²+bx+c过点A(-1,0)、点B(5,0)，交y轴于点C. （1）求抛物线的表达式. （2）点P是直线BC下方抛物线上的一点，过点P作PE⊥x轴,交BC于点E,再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF. 是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形? 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2. 二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A(-1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t=时，求△DNB的面积； （3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标. 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3,0)，B点坐标为(-1,0)，连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1） 求抛物线的表达式. （2） 在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2x+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，点P是y轴右侧抛物线上的动点，抛物线对称轴与x轴交于点M. （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC与OP，两条线段交于点 D，当3OD=4DP时，求点P的坐标； （3）点Q是抛物线上的动点(点Q在点 P左侧)，若△QMP是以∠QMP=90°的等腰直角三角形时，请直接写出此时点P的坐标. 5. 如图，抛物线y=ax²+bx+2交x轴于点A(-3,0)和点B(1,0)，交y轴于点C. （1） 求这个抛物线的函数表达式； （2）点 D的坐标为(-1,0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值； （3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角? 若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 6. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点. （1） 求该抛物线所对应的函数关系式； （2） E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作ED⊥x轴于点D，交抛物线于点F．在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由； 7. 如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于点A(-1,0)和点B(2,0)，与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）直线CD∥x轴，交抛物线于点D，点M是抛物线对称轴上一个动点，点N是直线CD上一个动点,连接 OM，ON，MN，当△OMN是等边三角形时，请求出点N的坐标. 8. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+cx轴分别交于点A(-1,0)和B，与y轴交于点 C(0,3). （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上,若∠BPD=90°,求点P的坐标; （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标. 9. 如图，在平面直角坐标系内，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B(1,0)，C(0，3)．   （1）求这个二次函数的表达式； （2）在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC=S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为n，当△QAC