专项04：2023-2024学年二次函数综合题压分类专项--直角三角形问题

二次函数综合题分类专项--与直角三角形有关的问题 【典例剖析】如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l. （1） 连接AC，若点E是y轴上的点，且∠EAC=90°，求点E的坐标； （2） 连接BC，若点F是抛物线上的动点，当△FBC是以BC为直角边的直角三角形时，求点F的坐标； （3）连接BC，若点P是对称轴上一点，当△PBC是直角三角形时，求点P的坐标； 【拓展设问1】若点Q是对称轴上一点，当△QBC是锐角三角形时，则点Q的纵坐标y的取值范围是 ； 【拓展设问2】若点G是对称轴上一点，当△GBC是钝角三角形时，则点G的纵坐标y的取值范围是 ； （4）点R是y轴上一点，其坐标为（0,4）. 动点M是线段BR上一点，过点M作MK⊥BR，交y轴于K，连接AK，BK，若△ABK是直角三角形，求点M的坐标； （5） 若点N是对称轴上一点，在对称轴右侧的抛物线上存在一点D，使得△BDN是以N为直角顶点的等腰直角三角形，求点D的坐标. 【针对练习】1. 如图，抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A，B(3,0)两点(点A在点 B左侧)，与y轴交于点C,直线 y=-x+b经过B，C两点,抛物线的顶点记为D. （1）求抛物线的解析式及点D的坐标； （2）若点 P是对称轴右侧，且位于第一象限内抛物线上的一个动点，连接PB，PC，当△PBC的面积是△OBC面积的时，求出点P的坐标； （3）在(2)的条件下，在对称轴上有一点Q，当△BPQ是直角三角形时，请直接写出点Q的坐标. 2. 已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点C. （1）求抛物线的表达式； （2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交 BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 3. 如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC． （1）点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标． 4. 如图，抛物线y＝-x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m． （1）求二次函数解析式； （2）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)和B(-3,0)，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式． （2）连接BC，动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动，连接DE，当点E到达点C的位置时，D、E同时停止运动，设运动时间为t秒．当△BDE为直角三角形时，求t的值． 6. 如图，已知抛物线y=a