专项03：2023-2024学年二次函数综合题分类专项--等腰三角形问题

二次函数综合题分类专项--与等腰三角形有关的问题 【典例剖析】如图，已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线l. （1） 连接AC，抛物线上是否存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； （2） 连接BC，在直线AC上是否存在点F，使△BCF是以BC为腰的等腰三角形？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由； （3） 在x轴上是否存在一点G，使△BCG是等腰三角形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由； （4） 在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由； （5）点P为直线AC上方抛物线上的一点，过点P作PD∥y轴交BC于点D，连接PC，若△PDC为等腰三角形，求点P的坐标. （6）动点Q从点A开始沿AB方向以每秒4个单位长度的速度运动，动点N从点B开始沿BC方向以每秒个单位长度的速度运动，当点Q到达终点B时，两点同时停止运动. 设运动时间为t秒，当△BQN是等腰三角形时，求出t值. 【针对练习】1. 如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P. （1）求抛物线的解析式； （2）求△ABC的面积; （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得△CPM为等腰三角形?若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 2. 如图，已知抛物线y=ax²+bx-3a(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B两点，与y轴交于点C(0,-3)，抛物线的顶点为 D. （1）求该抛物线的解析式和点 D的坐标； （2）在对称轴左侧抛物线上是否存在点P，使得△PCD为等腰三角形? 若存在，求出符合条件的点P的 坐标；若不存在，请说明理由. 3. 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线 BC 的解析式为 y=x-6，点P是x轴上的一个动点，过点 P作直线PE⊥x轴交直线 BC于点 E，交抛物线于点 F. (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在线段OB上运动(且不与点O重合)，当AE=时,试探究∠AEP与∠ACO的数量关 系，并说明理由； (3)是否存在点 P，使得△CEF是等腰三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 4. 如图，抛物线 与x轴交于A(-3，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点M是抛物线在第四象限内的一个动点，过点M作MN⊥BC于点N，点M的横坐标为m. （1）求抛物线的表达式； （2）请用含m的代数式表示线段MN的长； （3）试探究在点 M运动的过程中，是否存在点N，使得△ACN是等腰三角形? 若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由. 5. 如图，已知抛物线与x轴交于点A(-1，0)，B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与 x轴交于点N，点D的坐标为(4，0). （1）求抛物线的表达式； （2）动点 Q从点A开始沿 AC方向以每秒个单位长度的速度运动，动点P从点C开始，沿CD方向以每秒个单位长度的速度运动，当点Q到达终点时，两点同时停止运动. 设运动时间为t，当△NPQ是等腰三