2023年中考数学一轮复习 模型专题九　辅助线作法（二）旋转变换

模型专题九　辅助线作法（二）旋转变换 模型精析 模型1　等边三角形的旋转 【例1】如图，P是等边三角形ABC中的一点，PA=3，PB=4，PC=5，则∠APB的度数为_______. 基本模型 模型点拨：△ABC为等边三角形，△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE 模型2　正方形的旋转 【例2】如图，在△ABP中，PA=，PB=4，∠APB=45°．以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧，连接PD，则PD的长为_______． 基本模型 模型点拨：四边形ABCD是正方形，△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF 模型3　“等腰直角三角形含半角”模型 【例3】如图，在△PAB中，∠APB=90°，PA=PB，点C，D是边AB上两点，且∠CPD=45°，求证：AC2+BD2=CD2． 基本模型 模型点拨：①△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，∠DAE=45°.②△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACF，使AB与AC重合．③结论：△AEF≌△AEG；DE2=BD2+CE2；△CEF的周长＝BC 模型4　“正方形含半角”模型 【例4】如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：． 基本模型 模型点拨：①在正方形ABCD中，∠EAF＝45°.②△ADF绕点A顺时针旋转90°到△ABG，使AD与AB重合．③结论：△AEF≌△AEG；EF=BE+DF；△CEF的周长＝正方形ABCD周长的一半 模型5　“费马点”模型 【例5】如图，在中，，P是内一点，求的最小值. 基本模型 模型点拨：①分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点.②此时∠AMB＝∠BMC＝∠AMC＝120°，MA+MB+MC的值最小，为CE或BF的长. 模型精练 1．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，连接ED，若BC＝10，则△AED的周长的最小值是（　　） A．10 B． C． D．20 2．如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为，则AB的值为（　　） A．2 B． C． D．4 3.如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连接，则的长为（    ）    A．6 B． C． D．3 4.如图，为等边内一点，且，，，、为边、上的动点，且，则的最小值为（    ）    A．10 B．8 C．6 D．4 5.如图，平面内三点、、，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（    ）    A．41 B． C．81 D． 6.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　） A． B． C． D． 7．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积 　 　． 8．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDM．若AE＝1，则MF的长为 　 　． 9.如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段 ，连接 ．若，，，则四边形的面积为_______． 10.如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为_______． 11.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB． （1）求点P与点Q之间的距离． （2）求∠APB的度数． 12.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N． (1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM； (2)求证：； (3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系． 参考答案 模型专题九　辅助线作法（二）旋转变换 【模型精析】 [例1]150° [例2]2 [例3]证明：将△APC绕点P逆时针旋转90°至△BPC'的位置，使PA与PB重合，连接DC'， 则PC'=PC，BC'=AC，∠BPC'=∠APC，∠PBC'=∠PAC=45°， 又∵∠APC