2023年九年级中考数学模型专题七　最值模型（三）隐圆 瓜豆原理

模型专题七　最值模型（三）隐圆 瓜豆原理 模型精析 模型1　“定点+定长”型 【例1】如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=4，点P是BC边上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接CM，则CM的最小值为_________. 基本模型 模型点拨：P为动点，且AB＝AC＝AP，则点P的运动轨迹为以A为圆心，AB为半径的圆 模型2　“定弦对定角”型 【例2】如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB＝∠AGB，则DP的最小值为_______. 基本模型 模型点拨：P为动点，AB为固定线段，∠APB为定值，则A，B，P三点共圆，点P的运动轨迹为弦AB所对的圆弧.点P在优弧、劣弧上运动皆可. 模型3　“直角圆周角”型(动) 【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一点，连接PA，PC，PD，若PA⊥PD，则PC的最小值为_________. 基本模型 模型点拨：P为动点，AB为固定线段，且∠APB＝90°，则点P的运动轨迹为以AB的中点O为圆心，AB长为半径的圆 模型4　“同弦对等角”型 【例4】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为__________. 基本模型 模型点拨：P，C为两动点，AB为固定线段，∠ACB＝∠APB，则A，B，C，D四点共圆，点P，C的运动轨迹相同，为弦AB所对的圆弧.点P与点C在线段AB同侧. 模型5　“对角互补，四点共圆”型 【例5】如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ACD=30°，AD=2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为__________. 基本模型 模型点拨：B，D为两定点，A，C为两动点，若∠A＋∠C恒为180°，则A，B，C，D四点共圆，点A，C的运动轨迹分别为弦BD所对的优弧或劣弧.点A与点C在线段BD异侧 模型6　“瓜豆原理”型 【例6】如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，连接OD，则OD长的最大值为_________. 【例7】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为__________. 基本模型 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同． 满足条件：①两动一定.②动点与定点的连线夹角是定角.③动点到定点的距离比值是定值． （1）点在圆上运动 模型点拨：①点P在⊙O上运动，点A为定点，点Q为另一动点，∠PAQ为定角α，＝k.②点Q的运动轨迹为⊙M.∠OAM＝∠PAQ=α△APO∽△AQM＝＝＝k. （2）点在线上运动 模型点拨：①点P在BC上运动，点A为定点，点Q为另一动点．已知∠PAQ为定角α，＝k.②点Q的运动轨迹为线段MN.且∠NGC＝∠PAQ=α(∠PAQ≤90°)△ABC∽△AMN＝＝k. 模型精练 1．如图，长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为（　　） A．2 B．1 C．2 D． 2．如图，点P是正六边形ABCDEF内一点，AB＝4，当∠APB＝90°时，连接PD，则线段PD的最小值是（　　） A． B． C．6 D． 3.如图，A是上任意一点，点C在外，已知是等边三角形，则的面积的最大值为（ ） A． B．4 C． D．6 4.如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，则的长的最小值是　　 A． B．3 C． D． 5.如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 6.如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为　　 ． 7.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（5，3），点P是第一象限内一动点，且∠