2023年九年级中考数学复习模型专题四　相似三角形模型

模型专题四　相似三角形模型 模型精析 模型1　A字模型 【例1】如图所示，已知在△ABC中，∠A=40°，∠B=65°，点D、E分别的边AB、AC上，且∠AED=75°．求证：△ADE∽△ABC. 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，且CD⊥AB．求证：AC2=AB•AD． 基本模型 ①正A字型 模型点拨：∽ ②反A字型 模型点拨：公共角相等，找另一组对应角相等（对应边成比例）∽ ③反A字型(共边) 模型点拨：公共角相等，找另一组对应角相等∽ ④射影定理型 模型点拨：除了直角相等，利用等角或同角的余角相等找到另一组等角 ∽∽ 模型2　8字模型 【例3】如图，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB=12，BD=15，DC=5，求EC的长． 基本模型 ①正8字型 模型点拨：条件△AOB∽△COD ②反8字型 模型点拨：对顶角相等，找另一组对应角相等△AOB∽△DOC 模型3　旋转模型 【例4】如图，已知△ABC和△ADE，AB=AC，AD=AE，点D在BC边上，∠BAD=∠CAE，边DE与AC相交于点F．求证：△ABC∽△ADE. 基本模型 旋转不相交型 旋转相交型 模型点拨：旋转角相等，找出另一组对应角相等 模型4　一线三等角模型 【例5】如图，点B，C，D在同一直线上，∠B=∠ACE=∠D，求证：△ABC∽△CDE. 基本模型 一线三等角型 一线三垂直型 模型点拨：①∠ABC＝∠ACE＝∠CDE，找另一组对应角相等.②如果题目中有边相等的条件，则证明两三角形全等；否则证明两三角形相似． 模型精练 1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C在x轴上，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点A的纵坐标是a，则点A1的纵坐标是（　　） A．a B．a C．﹣2a D．2a 3.如图，正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（ ） A．8 B．12 C．16 D．20 4.如图，在矩形中，，，、、、分别为矩形边上的点，过矩形的中心，且．为的中点，为的中点，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，则AF的最小值是（　　） A．5 B． C． D．3 6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝12，则AD的长为 　 　． 7.如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF=_______． 8.已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为_______. 9.如图，点D在△ABC的边BC上，∠ADC+∠BAC＝180°，AB＝4，BC＝8，求BD的长． 10.【问题呈现】 (1)如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． 【类比探究】 (2)如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． 【拓展提升】 (3)如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 参考答案 模型专题四　相似三角形模型 【模型精析】 [例1]证明：∵∠A=40°，∠B=65°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=75°． ∵∠AED=75°，∴∠AED=∠C． 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC． [例2]证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90°． ∴∠ACB=∠CDA． 又∵∠A=∠A， ∴△ACB∽△ADC． ∴，∴AC2=AB•AD． [例3]解：∵AB⊥BC，EC⊥BC， ∴∠C=∠B=90°， ∵∠CDE=∠BDA，∴△DCE∽△DBA， ∴， ∵AB=12，BD=15，DC=5， ∴，∴EC=4． [例4]证明：∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+CAD，即∠BAC=∠DAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴∠B=∠ACB=(180°−∠BAC)，∠ADE=∠E=(180°−∠DAE)， ∵∠BAC=∠DAE，