精品解析：上海市上海中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

上海中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一､填空题（本大题共有12题，满分42分，第16题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 向量且，则__________. 2. 已知两条相交直线a，b，且a//平面，则b与的位置关系是____________. 3. 将一个圆心角为，面积为的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为__________. 4. 如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）.根据我们所学的__________定理，我们可以证明书脊所在的直线垂直于桌面. 5. 已知四棱锥高为2，其底面水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则该四棱锥的体积为__________. 6. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,M为棱CC1的中点,则点M到平面A1BD的距离是___. 7. 正三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为______. 8. 下列说法正确是__________. ①一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量. ②如果直线与是异面直线，那么向量与不共面 ③两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段. ④直三棱柱任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积. 9. 设和都是平面垂线，其垂足分别为.已知，那么线段__________. 10. 设分别是圆柱的上､下底面的中心，是以为顶点，为底面的圆锥体，若圆柱的体积为1，那么圆锥的公共部分的体积为__________. 11. 正四棱柱中，已知，那么以A为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________. 12. 已知空间四个单位向量满足：，则的最大值为__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分16分，每小题4分） 13. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ） A. B. C. D. 14. 已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系 A. 两两垂直 B. 两两平行 C. 两两相交 D. 两两异面 15. 已知二面角为，点、分别在、内且，到的距离为，到的距离为, 则两点之间的距离为 （ ） A. B. C. D. 16. 如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 三､解答题（本大题共有4题，满分42分） 17. 如图，在正四棱锥中，是棱的中点； （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 18. 如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，. （1）用，，表示，； （2）求异面直线，所成角的余弦值. 19. 在底面为正三角形的三棱柱中，平面ABC⊥平面，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 20. 长方体中， （1）已知P､Q分别为棱AB､的中点（如图1），做出过点，P，Q的平面与长方体的截面.保留作图痕迹，不必说明理由； （2）如图2，已知，，，过点A且与直线CD平行的平面将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面变化的过程中，求这两个球的半径之和的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一､填空题（本大题共有12题，满分42分，第16题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 向量且，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标公式求解即可. 【详解】， 所以. 故答案为：1 2. 已知两条相交直线a，b，且a//平面，则b与的位置关系是____________. 【答案】b//平面或b与平面相交 【解析】 【分析】画出图形不难看出直线与平面的位置关系，平行或相交. 详解】 由题意画出图形，当所在平面与平面平行时，与平面平行， 当所在平面与平面相交时，与平面相交. 故答案为: b//平面a或b与平面相交. 【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题. 3. 将一个圆心角为，面积为的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出扇形的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，利用体积公式求出答案. 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 即卷成的圆锥母线长为3，设圆锥的底面半径为，则， 解得， 则圆锥的高， 故圆锥的体积为 故答案为：