4.4.2 平面与平面垂直（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．下列不能确定两个平面垂直的是(　　) A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 C．一个平面经过另一个平面的一条垂线 D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b D　[如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．] 2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个结论： ①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则m⊥n； ③若m⊥α，m∥β，则α⊥β. 其中正确结论的个数是(　　) A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 C　[①若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，故①错误；易知②③正确．所以正确结论的个数是2.] 3．(多选题)下列命题中，真命题有(　　) A．平行于同一平面的两个平面互相平行 B．平行于同一平面的两直线平行 C．垂直于同一平面的两个平面互相平行 D．垂直于同一平面的两条直线互相平行 AD　[对于B，两条直线可以平行，可以相交，也可以异面；对于C，两个平面可以相交．] 4.(多选题)如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是(　　) A．MD⊥MB B．MD⊥PC C．AB⊥AD D．BM⊥PC BD　[如图，连接AC，BD，BM，MD. 因为在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD， 且底面各边都相等，M是PC上的一动点， 所以BD⊥PA，BD⊥AC，因为PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 即有PC⊥平面MBD. 而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.] 5．在四面体A­BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A­BD­C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED等于(　　) A．90° B．45° C．60° D．30° A　[如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF，则AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC为二面角A­BD­C的平面角．由题意可得AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD， ∴∠AED＝90°.] 6．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________． ①③④⇒②　[m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°， ∴α⊥β.] 7．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4，AC，BD分别在平面α和β内，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝3，BD＝12，则CD＝________． 13　[连接BC.∵BD⊥AB，α⊥β，α∩β＝AB，∴BD⊥α.∵BC⊂α，∴BD⊥BC，∴△CBD是直角三角形． 在Rt△BAC中，BC＝＝5. 在Rt△CBD中，CD＝＝13.] 8.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________． 6　[∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，CO⊂平面ABC，∴CO⊥平面ABD. ∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD， ∴△COD为直角三角形． ∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．] 9.如图，在三棱锥P­ABC中，已知∠ABC＝90°，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC，求证：平面PAB⊥平面PBC. 证明　∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，PA⊂平面PAC，∴PA⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB. 又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC. 10.在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点．求证： (1)直线A1B1∥平面ABD； (2)平面ABD⊥平面BCC1B1. 证明　(1)由直三棱柱ABC­A1B1C1，得A1B1∥AB. 因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B