2.1.2 两角和与差的正弦公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于(　　) A．－ B．－ C． D． C　[sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20° ＝sin 10°cos 20°＋sin (90°－10°)sin 20° ＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20° ＝sin (10°＋20°)＝sin 30°＝.] 2．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于(　　) A． B．－ C． D．－ A　[∵B为△ABC内角，∴由cos B＝，得sin B＝，∵A＝， ∴sin A＝cos A＝，sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B) ＝sin A cos B＋cos A sin B＝×(＋)＝.] 3．化简：sin ＋sin ＝(　　) A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x B　[sin ＋sin ＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x．] 4．在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 D　[∵A＝180°－(B＋C)， ∴sin A＝sin (B＋C)＝2sin B cos C. 又∵sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C， 即sin B cos C－cos B sin C＝sin (B－C)＝0， 又∵－180°<B－C<180°， 则B＝C，故△ABC为等腰三角形．] 5．(多选题)下列对等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是(　　) A．对任意的角α，β都成立 B．α＝β＝0时成立 C．只对有限个α，β的值成立 D．有无限个α，β的值使等式成立 BD　[因为sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．] 6．若cos α＝－，sin β＝－，α∈，β∈，则sin (α＋β)的值为________． 　[∵cos α＝－，α∈， ∴sin α＝＝. ∵sinβ＝－，β∈，∴cos β＝＝， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝.] 7．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6，4sin B＋3cos A＝1，则角C等于________． 30°　[已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin A cos B＋cos A sin B)＝37， 即25＋24sin (A＋B)＝37，∴sin (A＋B)＝sin C＝， ∵C为△ABC的内角， ∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°， 此时3sin A＋4cos B＜3sin 30°＋4cos 0°＝，与已知矛盾，∴C＝30°.] 8．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝________． 　[∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝， ∴cos α＝，sin β＝. cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－. ∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.] 9．已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin 的值． 解　∵sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝sin (α－β)cos α－cos (α－β)sin α＝sin (α－β－α)＝sin (－β)＝－sin β＝， ∴sin β＝－，又β是第三象限角， ∴cos β＝－＝－， ∴sin＝sin βcos ＋cos βsin ＝×＋×＝－. 10．已知sin α＝，sin (α－β)＝－，α，β均为锐角，求β的值． 解　∵α为锐角，sin α＝，∴cos α＝. ∵－<α－β<，且sin (α－β)＝－， ∴cos (α－β)＝. ∴sin β＝sin [α－(α－β)] ＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β) ＝×－×(－)＝. ∵β为锐角，∴β＝. 11．已知cos ＋sin α＝，则sin 的值为(　　) A．－ B． C．－ D． C　[∵cos ＋sin α＝， ∴cos αcos ＋sin αsin ＋sin α＝cos α＋sin α＝，即cos α＋sin α＝， ∴sin ＝. ∴sin ＝sin ＝－sin ＝－.] 12．(多选题)设函数f(x)＝sin ＋co