2.1.1 两角和与差的余弦公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为(　　) A．－　　　　　　　　　 B． C． D．－ B　[由诱导公式得sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67° ＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23° ＝cos (83°－23°)＝cos 60°＝.] 2．满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝π，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ B　[∵cos αcos β＝－sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝， 即cos (α－β)＝，经验证可知选项B正确．] 3．化简cos (45°＋α)cos (15°－α)＋sin (45°＋α)sin (α－15°)的结果为(　　) A． B．－ C． D．－ A　[原式＝cos (α＋45°)cos (15°－α) － sin (α＋45°)sin (15°－α)＝cos [(α＋45°)＋(15°－α)]＝cos 60°＝.] 4．已知点P(1，)是角α终边上一点，则cos 等于(　　) A． B． C．－ D． B　[由题意可得sin α＝，cos α＝， cos ＝cos cos α－sin sin α ＝×－×＝.] 5．已知cos ＝，0<θ<，则cos θ等于(　　) A． B． C． D． A　[∵θ∈，∴θ＋∈， ∵cos ＝， ∴sin ＝.cos θ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝×＋×＝.] 6．若a＝(cos α，sin β)，b＝(cos β，sin α)，0<β<α<，且a·b＝，则α－β＝________． 　[a·b＝cos αcos β＋sin βsin α＝cos (α－β)＝，因为0<β<α<，所以0<α－β<.所以α－β＝.] 7．已知cos α－2cos β＝－，sin α－2sin β＝，则cos (α－β)＝________． 　[由得 两式相加，得5－4cos (α－β)＝， 所以cos (α－β)＝.] 8．已知cos α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β∈，则cos (α－β)＝________． 　[∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)， ∴sin α＝＝＝， sin (α＋β)＝＝＝， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝×＋×＝， ∴sin β＝ ＝＝. 故cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.] 9．设cos ＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，求cos 的值． 解　∵α∈，β∈， ∴α－∈，－β∈， ∴sin ＝ ＝＝， cos ＝ ＝＝， ∴cos ＝cos ＝cos cos －sin sin ＝×－×＝－＝－. 10．已知向量a＝(sin θ，－2)与b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈. (1)求sin θ和cos θ的值； (2)若5cos (θ－φ)＝3cos φ，0<φ<，求cos φ的值． 解　(1)因为a⊥b， 所以a·b＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以4cos2θ＋cos2θ＝1， 即cos2θ＝，所以sin2θ＝， 又θ∈，所以sinθ＝，cos θ＝. (2)因为5cos (θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝cos φ＋2sin φ＝3cos φ， 所以cos φ＝sin φ， 所以cos2φ＝1－cos2φ，即cos2φ＝. 因为0<φ<，所以cosφ＝. 11．若sin x＋cos x＝cos (x＋φ)，则φ的一个可能值是(　　) A．－ B．－ C． D． A　[sin x＋cos x＝cos x cos ＋sin x sin ＝cos ， 故φ的一个可能值为－.] 12．设A，B为锐角△ABC的两个内角，向量a＝(2cos A，2sin A)，b＝(3cos B，3sin B).若a，b的夹角的弧度数为，则A－B等于(　　) A． B．－ C．± D．± C　[cos ＝＝cos (A－B)， 又－<A－B<，∴A－B＝±.] 13．函数f(x)＝sin 2x sin －cos 2x cos 在上的递增区间为________． 　[f(x)＝sin 2x sin －cos 2x cos ＝sin 2x sin ＋cos 2x cos ＝cos .当2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，