1.7 平面向量的应用举例（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　) A．2 B． C．3 D． B　[∵BC的中点为D，＝， ∴||＝.] 2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为(　　 ) A．5 N B．5 N C．10 N D．5 N B　[如图，有|F1|＝|F|cos 60°＝10×＝5(N).] 3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 B　[|v|＝＝，又||＝＝，∴时间t＝＝3.] 4．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝(　　) A． B． C．2 D．3 C　[如图，因为正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c， 则|a＋b＋c|＝|＋＋|＝2||，因为||＝||＝1，⊥，则||＝，所以|a＋b＋c|＝2.] 5．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1，若点M在线段BD上，则·的最小值为(　　) A． B．－ C．－ D． B　[建立如图所示平面直角坐标系， 因为AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝AD＝1， 所以B(2，0)，D(0，1)，C(1，1)， 设＝λ，0≤λ≤1，＝(－2，1)，则＝(－2λ，λ)，所以M(2－2λ，λ)， 所以＝(2－2λ，λ)，＝(1－2λ，λ－1)， 所以·＝(2－2λ)(1－2λ)＋λ(λ－1)＝5λ2－7λ＋2＝5－，0≤λ≤1. 当λ＝时，·的最小值为－.] 6．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________． －　[如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 则A(0，0)，B(2，0)，D(0，1)，C(2，1). ∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F(1，1). ∴＋＝，＝(－2，1). ∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.] 7．在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________． 　[根据平面向量数量积的概念得 ·＝||||cos A， 当A＝时，根据已知可得||||＝＝＝， 故△ABC的面积为||·||sin ＝.] 8. 如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是__________．(填序号) ①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变． ①③　[设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ. 则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝. ∵θ增大，cos θ减小，sin θ增大，∴|F|增大． ∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．] 9．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向． 解　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v. 方向由南向北，大小为2 km/h，船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，数形结合知v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h. 10. 如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC. 证明　设＝，并设△ABC的边长为a，则有 ＝＋ ＝λ＋ ＝λ＋ ＝(2λ＋1)－λ， ＝－. ∵∥，∴设＝k. 则(2λ＋1)－λ＝k－k. 于是有解得λ＝. ∴＝. 又＝－， ＝＋＝＋＝＋×(－)＝＋. 从而·＝· ＝a2－a2－a2cos 60°＝0. ∴BP⊥DC. 11. 长江流域内某地南北两岸平行，如图所示已知游船在静水中的航行速度的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度大小|v2|＝4 km/h，设v1和v2所成角为θ(0<θ<π)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cos θ等于(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ B　[由题意知(v1＋v2)·v2＝0，有|v1||v2|cos θ＋v＝0，即10×4cos θ＋42＝0，所以cos θ＝－.] 12．(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(