4.4.2 平面与平面垂直（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

4．4.2　 平面与平面垂直 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角． 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角． 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能运用面面垂直的性质定理和判定定理解决简单的问题． 通过学习面面垂直的性质定理及判定定理，提升直观想象及逻辑推理素养． 平 面 角 概念 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面 文字 在二面角α­l­β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． 平面角是直角的二面角叫做直二面角 图示 符号 OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角α­l­β的平面角 范围 0°≤∠AOB≤180° 记法 棱为l、面分别为α，β的二面角记作二面角α­l­β 1．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．若平面α，β互相垂直，则记作α⊥β． 2．画法：在画两个互相垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直．如图所示． 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 图形语言 符号语言 若a⊂α，a⊥β⇒α⊥β 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 若α⊥β，α∩β＝MN，AB⊂β，AB⊥MN⇒AB⊥α 图形语言 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β.(　　) (2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行线，则α⊥β.(　　) (3)应用面面垂直的判定定理，关键是要在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化．(　　) (4)已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　) A．α∥γ　　　　　　　　　 B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 D　[两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A，B，C都有可能．] 3．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　) A．有1个 B．有2个 C．有无数个 D．不存在 C　[由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．] 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，二面角A­BC­A1的平面角等于________． 45°　[根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角的平面角的定义可知，∠ABA1即为二面角A­BC­A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.] [知能解读]　 1．要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致． 2．要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别． (1)下列说法： ①两个相交平面所组成的图形叫做二面角； ②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角； ③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系． 其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 A　[根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误．所以①②③都不正确．] (2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A­BC­O的大小． 解　如图，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为点D，连接AD，设CO＝a. ∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC. 又AO∩DO＝O，AO，DO⊂平面AOD， ∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD， ∴BC⊥AD，∴∠ADO即为二面角A­BC­O的平面角， 由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α， 得AO⊥OB，AO⊥OC， 又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°， ∴AO＝a，则AC＝a，AB＝2a， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， ∴BC＝＝a， ∴AD＝＝＝a. 在Rt△AOD中，sin ∠ADO＝＝＝， ∴∠ADO＝60°，即二面角A­BC­