1.6.2 正弦定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1．6.2　正弦定理 课程内容标准 学科素养凝练 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 通过学习正弦定理及运用正弦定理解决问题，提升数学抽象及数学运算素养 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即＝＝ . 2．扩充的正弦定理 ＝＝＝2R． 3．正弦定理的变形 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． a＝2R sin A；b＝2R sin B；c＝2R sin C(其中R为外接圆半径). 1．已知两角和一边，求另两边和一角． 2．已知两边和一边的对角，求另两角和一边． S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)正弦定理不适用于直角三角形．(　　) (2)在△ABC中，等式b sin A＝a sin B总能成立．(　　) (3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解．(　　) (4)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(　　) 答案　(1) ×　(2)√　(3)×　(4)× 2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　) A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 A　[∵b<a，A＝30°，∴B<30°.故三角形有一解．] 3．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 B　[由正弦定理可得sin A＝sin C⇒＝，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．] 4．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b＝(　　) A．5 B．10 C． D．5 B　[由正弦定理，得b＝＝＝10.] 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝b sin A，则sin B＝________． 　[由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B， 所以sin A＝sin B sin A，故sin B＝.] 在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，sin 75°＝，解这个三角形． 解　∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°. 由＝，得a＝＝＝10. 由＝，得b＝＝＝＝20sin 75°. ∵sin 75°＝， ∴b＝20×＝5＋5. [方法总结]　已知两角及一边解三角形问题的解题方法 1．当所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． 2．当所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． [训练1]　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin (A＋B)＝，cos B＝，b＝3，则c＝________． 　[在△ABC中，∵cos B＝＞0，∴sin B＝. ∴sin C＝sin [π－(A＋B)]＝sin (A＋B)＝. 由正弦定理＝，得c＝＝.] 在△ABC中，已知下列条件解三角形． (1)a＝，b＝2，A＝30°. (2)a＝2，b＝，A＝45°. (3)a＝5，b＝2，B＝120°. 解　(1)由＝，得 sin B＝＝＝. ∵a＜b，∴B＞A＝30°， ∴B＝45°或B＝135°. 当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝105°， ∴c＝＝＝＋1； 当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝15°， ∴c＝＝＝－1. ∴B＝45°，C＝105°，c＝＋1，或B＝135°，C＝15°， c＝－1. (2)由＝，得 sin B＝＝＝＝. ∵a＞b，∴A＞B，∴B必为锐角，∴B＝30°， ∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°. ∴c＝＝＝＝＋1， ∴B＝30°，C＝105°，c＝＋1. (3)由＝，得sin A＝＝＝＞1， ∴A不存在，故此题无解． [方法总结]　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形问题的解题方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角． (3)已知的角为小边所对的角时，不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． [训练2]　(多选题)在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，则c＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．无解 AB　[由＝，得sin B＝＝. ∵a<b，∴B＞A＝30°.∴B为60°或120°. ①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c＝＝＝