1.2 第二课时 向量的减法（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

第二课时　向量的减法 课程内容标准 学科素养凝练 掌握向量减法的运算，并理解其几何意义，了解向量减法的运算性质 通过学习向量减法的运算法则及运算性质，提升数学抽象及数学运算素养 1．已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记作x＝b－a，x称为b与a的差． 2．减去一个向量a，等于加上它的相反向量－a，即b－a＝b＋(－a). 如图，任取一定点O，从O分别观测A，B两点的方向和距离，则点A，B的位置由点O分别到A，B的两个向量，唯一表示．，分别称为点A，B的位置向量，也即分别代表了A，B两点的位置，因而等式＝－的物理意义就是： 位置的改变量＝终点位置减起点位置， 因此，向量等于终点向量减起点向量.即＝－. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)向量与是相反向量．(　　) (2)－＝，－(－a)＝a.(　　) (3)两个相等向量之差等于0.(　　) (4)同起点的向量a，b，向量a－b可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2. 如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是(　　) A．a＋b和a－b B．a＋b和b－a C．a－b和b－a D．b－a和b＋a B　[由向量的加法、减法，得＝＋＝a＋b， ＝－＝b－a.] 3. 可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是(　　) A．①②　　　　　　　　 B．②③ C．③④ D．①④ D　[＋＝， －＝，故①④正确．] 4．在△ABC中，||＝||＝||＝2，则|－|的值为________． 2　[－＝，而||＝||＝2.] [知能解读]　利用向量减法进行几何作图的方法 1．已知向量a，b，如图①所示，作＝a，＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b.利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． 2．利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作＝a，＝b，＝－b，则＝a＋(－b)，即＝a－b. 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. [变式]　若本例条件不变，则如何作出a－b－c? 解　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c. [方法总结]　在作两个向量的差向量时，若两个向量有共同起点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的起点不重合，先通过平移使它们的起点重合，再作出差向量． [训练1]　如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d. 解　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d. 则a－b＝，c－d＝. 化简下列各式． (1)(－)－(－)； (2)＋＋－－. 解　(1)法一　(－)－(－) ＝－－＋ ＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋ ＝0. 法二　(－)－(－) ＝－－＋ ＝(－)＋(－) ＝＋ ＝0. 法三　设O为平面内任意一点，连接OA，OB，OC，OD， 则(－)－(－) ＝－－＋ ＝(－)－(－)－(－)＋(－) ＝－－＋－＋＋－ ＝0. (2)法一　＋＋－－ ＝＋＋＋＋ ＝(＋＋)＋(＋) ＝0 ＝. 法二　在平面内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD， 则＋＋－－ ＝(－)＋(－)＋(－)－(－)－(－) ＝－＋－＋－－＋－＋ ＝－ ＝. [方法总结]　向量加减的运算主要有两种解法，一是直接利用向量加减运算法则，二是引入点O，将各向量统一用，，，等表示进行化简. [训练2]　化简：(1)(－)－(－)； (2)(＋＋)－(－－). 解　(1)原式＝－＝. (2)原式＝＋－＋(＋) ＝－－＋ ＝－＋＝＋＋ ＝＋ ＝0. 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解　因为四边形ACDE是平行四边形， 所以＝＝c，＝－＝b－a， 故＝＋＝b－a＋c. [方法总结] 1．解此类题目要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则． 2．表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？ 3．必要时可直接用向量求和的多边形法则． [训练3]　 如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝______