1.2 第1课时 向量的加法（Word教参）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.2　向量的加法 第一课时　向量的加法 课程内容标准 学科素养凝练 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并理解其几何意义，了解向量加法的运算律及性质 通过研究向量的加法运算及运算性质，提升数学抽象及数学运算素养 1．向量加法的定义 求向量和的运算称为向量的加法． 2．三角形法则 已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，分别作＝a，＝b，则定义从O到B的向量为a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ . 将两个向量表示为首尾相接的有向线段来求和的作图法则叫作向量加法的三角形法则． 如图，从同一点O出发作有向线段＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则对角线就是a与b的和，即 ＝a＋b. (1)加法交换律：a＋b＝b＋a对任意两个向量a，b成立． (2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)对任意三个向量a，b，c成立． 任意向量与零向量相加后保持不变，等于这个向量本身，即a＋00a＝a. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)0＋a＝a＋0＝a.(　　) (2)＋>.(　　) (3)||＋||＝||.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．下列结论中不正确的是(　　) A．a＋0＝a　　　　　　　　 B．a＋b＝b＋a C．a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c D．＋＝2 D　[根据运算律知，A、B、C中结论显然正确．对于D，应为＋＝0，故D中结论错误．] 3．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　) A．2 B．4 C．12 D．6 B　[∵＋＝，∴＋＋＝2，|2|＝2＝4.] 4．若a＝“向北走8 km”，b＝“向东走8 km”，则|a＋b|＝________ km；a＋b的方向是________． 8　东北方向　[由向量加法的平行四边形法则，|a＋b|＝8，方向为东北方向．] 探究一　向量加法的平行四边形法则和三角形法则 [知能解读]　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”． (2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和． 联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的． (2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c. 　　　 (1)　　　　　　　(2) 解　(1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b. (2)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c. [方法总结]　用三角形法则求和向量，关键是抓住“首尾相连”，和向量是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点；平行四边形法则注意“共起点”．两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用． [训练1]　(1)如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c. (2)如图，O为正六边形ABCDEF的中心，指出与下列向量相等的向量： ①＋；②＋；③＋. 解　(1)作法：在平面内任取一点O，如图所示，作＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c. (2)①因为四边形OABC为平行四边形，故＋＝. ②∵＝，故＋与方向相同，长度是长度的2倍．故＋＝. ③∵＝，∴＋＝＋＝0. 化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 解　(1)原式＝＋＝. (2)原式＝＋＋ ＝(＋)＋＝＋＝0. (3)原式＝＋＋＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝0. [方法总结]　 [训练2]　(1) (＋)＋(＋)＋＝(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． D　[原式＝＋＋＋＋＝.] (2)化简： (＋)＋(＋). 解　法一　(＋)＋(＋) ＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 法二　(＋)＋(＋)＝＋(＋＋)＝＋0. 如图，已知E，F分别是▱ABCD的边DC，AB的中点， 求证：四边形AECF是平行四边形． 证明　在▱ABCD中，＝， 又由E，F分别是DC，AB中点，得＝. 所以＝＋＝＋＝. 又A，E，C，F四点不共线，所以AE∥FC且AE＝FC， 故四边形AECF是平行四边形． [方法总结]　用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题． [训练3]　 如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且＝，＝. 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明　＝＋，＝＋， ∵＝，＝， ∴＝，∴AB∥DC且