单元素养强化(一) 导数的简单应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

单元素养强化(一)　导数的简单应用 [对应学生用书P268] 1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝ln x＋x2f′(1)＋x，，则f′(－1)＝(　　) A．　　　B．－　　　　C．4　　　　D．－4 C　解析：因为f(x)＝ln x＋x2f′(1)＋x， 所以f′(x)＝＋2f′(1)x＋1，f′(1)＝2＋2f′(1)， 则f′(1)＝－2，f′(x)＝－4x＋1， 所以f′(－1)＝－1＋4＋1＝4. 2．已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于(　　) A． B． C． D． C　解析：f′(x)＝3ax2＋6x，所以4＝3a－6，a＝. 3．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是(　　) A．a＜f′(2)＜f′(4) B．f′(2)＜a＜f′(4) C．f′(4)＜f′(2)＜a D．f′(2)＜f′(4)＜a B　解析：根据题意，如图，设M为(2，f(2))，N(4，f(4))， 则f′(2)为曲线在点M处切线的斜率，f′(4)为曲线在点N处切线的斜率， kMN＝＝a，则a为直线MN的斜率， 结合图形分析可得，f′(2)＜a＜f′(4). 4．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f(x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 B　解析：由题意知，f(1)＝a ln 1＋b＝b＝－2.求导得f′(x)＝－(x＞0)，因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以易得f′(1)＝a－b＝0，所以a＝－2，所以f′(2)＝－＝－. 5．(多选)直线y＝x＋b能作为下列函数的图象的切线的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x4 C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex BCD　解析：f(x)＝， 故f′(x)＝－＝，无解，故A错误； f(x)＝x4，故f(x)＝4x3＝， 故x＝，即曲线在点(，)的切线为y＝x－，故B正确； f(x)＝sin x，故f′(x)＝cos x＝， 取x＝，故曲线在点(，)的切线为y＝x－＋，故C正确； f(x)＝ex，故f′(x)＝ex＝，故x＝－ln 2， 曲线在点(－ln 2，)的切线为y＝x＋ln 2＋，故D正确． 6．(多选)已知函数f(x)＝，以下结论中正确的是(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)有无数个零点 C．f(x)的最小值为－ D．f(x)的最大值为1 ABD　解析：对于A选项， 因为f(x)的定义域为R， 则f(－x)＝＝＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，A选项正确； 对于B选项，令f(x)＝0，则cos πx＝0， 所以πx＝kπ＋(k∈Z)， 解得x＝k＋(k∈Z)， 所以f(x)有无数个零点，B选项正确； 对于C选项，因为f(1)＝－， 若f(x)的最小值为－， 则x＝1是f(x)的一个极小值点， 而f′(x)＝－， 则f′(1)＝－＝≠0， x＝1不是函数的极小值点，C选项错误； 对于D选项， 因为－1≤cos πx≤1，x2＋1≥1， 当x＝0时，cos πx取到最大值1，x2＋1取到最小值1，所以此时f(x)取到最大值1，D选项正确． 7．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________． 1　解析：f(1)＝a，切点为(1，a)，f′(x)＝a－，则切线的斜率为f′(1)＝a－1，切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故直线l在y轴上的截距为1. 8．已知函数f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]，则f(x)的最小值为__________，最大值为__________． －　　解析：∵f(x)＝x－sin x，x∈[0，π]， ∴f′(x)＝－cos x，x∈[0，π]， 则当0＜x＜时，f′(x)＜0， 当＜x＜π时，f′(x)＞0， 所以f(x)在上单调递减，在(，π]上单调递增， 则当x＝时，f(x)min＝－； 又f(0)＝0，f(π)＝，所以f(x)max＝. 9．某高科技产品供不应求，其生产成本c(x)(单位：万元)与产量x(单位：台)的函数关系式为c(x)＝50＋2x，价格p(x)与产量x的函数关系式为p(x)＝242－x2(万元/台)，记销售该高科技产品x台获得的利润(利润＝销售收入－生产成本)为f(x)万元． (1)求函数f(x)的解析式，并写出其定义域； (2)问产量x为何值时，利润f(x)最大？最大利润是多少？ 解：(1)由题可得，f(x)＝(242－x2)x－(50＋2x) ＝－x3＋240x－50， 由得0＜x＜11， 所以