2.4.2 空间线面位置关系的判定 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P206] 1．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 B　解析：a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. 2．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝(　　) A．－2 B．－3 C．2 D．3 D　解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v，∴(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0，∴z＝3. 3．四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成60°角 B　解析：依题意＝－＝(1，－2，1)， 而·＝2＋2－4＝0， ·＝4－4＋0＝0， 所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥平面ABCD. 4．(多选)已知v为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，那么下列说法中，正确的有(　　) A．n1∥n2⇔α∥β B．n1⊥n2⇔α⊥β C．v∥n1⇔l∥α D．v⊥n1⇔l⊥α AB　解析：∵平面α，β不重合，∴平面α，β的法向量平行(垂直)等价于平面α，β平行(垂直)，∴A，B正确；直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α，∴C，D都错误． 5．已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a＝(4，－1，0)，b＝(1，4，5)，c＝(－3，12，－9)，则(　　) A．l1⊥l2，但l1与l3不垂直 B．l1⊥l3，但l1与l2不垂直 C．l2⊥l3，但l2与l1不垂直 D．l1，l2，l3两两互相垂直 A　解析：∵a·b＝(4，－1，0)·(1，4，5)＝4－4＋0＝0， a·c＝(4，－1，0)·(－3，12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1，4，5)·(－3，12，－9)＝－3＋48－45＝0， ∴a⊥b，a与c不垂直，b⊥c.∴l1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3. 6．(多选)如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A′，连接A′B，A′C，且A′D⊥DC，平面A′BE与平面A′CD的交线为l，则下列结论中正确的是(　　) A．平面A′DE⊥平面A′BE B．CD∥l C．BC与平面A′DE所成角的余弦值为 D．二面角E­A′B­D的余弦值为 ABD　解析：在菱形ABCD中，E为边AB的中点， 所以AB⊥DE， 因为CD∥BE，所以ED⊥DC， 因为A′D⊥DC，A′D∩DE＝D，A′D，DE⊂平面A′DE，所以CD⊥平面A′DE，因为CD∥BE，所以BE⊥平面A′DE， 因为BE⊂平面A′BE， 所以平面A′DE⊥平面A′BE ，故A正确； 因为CD∥BE，CD⊄平面A′BE，BE⊂平面A′BE， 所以CD∥平面A′BE， 又平面A′BE与平面A′CD的交线为l， 所以CD∥l ，故B正确； 由A知，BE⊥平面A′DE，则BE⊥A′E， 又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°， E为边AB的中点，所以DE⊥A′E， 又BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BED， 所以A′E⊥平面BED， 以E为原点，分别以EB，ED，E A′所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系： 则B(1，0，0)，A′(0，0，1)，C(2，，0)，D(0，，0)， 所以＝(1，，0)，＝(0，0，1)， ＝(0，，－1)，＝(1，0，－1)， 由上可知：CD⊥平面A′DE， 设平面A′DE的一个法向量为＝(－2，0，0)， 则cos 〈，〉＝＝＝－， 所以有sin 〈，〉＝ ＝， 因此选项C不正确； 显然平面A′BE的一个法向量为n＝＝(0，，0)， 设平面A′BD的一个法向量为m＝(x，y，z)， 所以cos 〈m，n〉＝＝＝，所以选项D正确． 7．已知空间直角坐标系O­xyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则x，y，z满足的条件为__________． x＋y＋z＝3　解析：由题意知，OA⊥α， 直线OA的方向向量＝(1，1，1). 因为P∈α，所以⊥， 所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0， 所以x＋y＋z＝3. 8．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________，＝________．(