2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 课后巩固（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P203] 1．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．P(2，3，3)　　　 B．P(－2，0，1) C．P(－4，4，0) D．P(3，－3, 4) A　解析：由题意知：点P在平面α内⇔⊥n⇔·n＝0，经检验选项A符合题意． 2．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ D　解析：由题意，有a∥b，则＝＝，得x＝6，y＝. 3．(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中成立的是(　　) A．·＝0 B．·＝0 C．·＝0 D．·＝0 ABD　解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，PC⊂平面PAC， ∴PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立． 4．(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是(　　) A．直线BD1的一个方向向量为(－2，2，2) B．直线BD1的一个方向向量为(2，2，2) C．平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D．平面B1CD的一个法向量为(1，1，1) AC　解析：由题意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1)， ∵＝(－1，1，1)，∴向量(－2，2，2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确，B不正确； 设平面B1CD1的法向量为n＝(x，y，z)，则 由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)得 令x＝1得n＝(1，1，1)，则C正确； 设平面B1CD的法向量为m＝(a，b，c)，则 由＝(0，－1，1)，＝(－1，0，0)得 令b＝1得m＝(0，1，1)，则D不正确． 5．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A．(－1，1，1) B．(1，－1，1) C．(1，1，1) D．(1，1，－1) C　解析：设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则化简得 ∴x＝y＝z. 6．(多选)已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量可能是(　　) A．(1，－4，2) B．(，－1，) C．(－，1，－) D．(0，－1，1) ABC　解析：由题意可知，所研究平面的法向量垂直于向量a＝(2，1，1)，和向量， 而＝(1，2，3)－(1，0，－1)＝(0，2，4)， 选项A，(2，1，1)·(1，－4，2)＝0， (0，2，4)·(1，－4，2)＝0满足垂直，故正确； 选项B，(2，1，1)·(，－1，)＝0， (0，2，4)·(，－1，)＝0满足垂直，故正确； 选项C，(2，1，1)·(－，1，－)＝0， (0，2，4)·(－，1，－)＝0满足垂直，故正确； 选项D，(2，1，1)·(0，－1，1)＝0， 但(0，2，4)·(0，－1，1)≠0，故错误． 7．在空间直角坐标系O­xyz中，已知平面α的一个法向量是n＝(1，－1，2)，且平面α过点A(0，3，1).若P(x，y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是_____________________． x－y＋2z＋1＝0　解析：由题意知·n＝0，即x－y＋2z＋1＝0. 8．在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＝______，z＝________． 1　0　解析：＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2)，与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，向量a＝(－1，y，z)，且为平面ABC的法向量，则a⊥且a⊥，即a·＝0，且a·＝0，即－1＋y＋0＝0且1－y－2z＝0，即 9．如图，在棱长为3的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点M在棱C1C上，且CM＝2MC1.以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求平面ABB1A1的一个法向量； (2)求平面MBD1的一个法向量． 解：(1)因为x轴垂直于平面ABB1A1，所以n1＝(1，0，0)是平面ABB1A1的一个法向量． (2)因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，CM＝2MC1， 所以M，B，D1的坐标分别为(0，3，2)，(3，3，0)，(0，0，3)， 因此＝(3，0，－2)，＝