模块复习课（一）导数及其应用 第2课时 导数的综合应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2课时　导数的综合应用 [对应学生用书P143] 一、利用导数研究不等式的恒成立、能成立问题 (1)∀x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f1(x1)>f2(x2)⇔[f1(x1)]min>[f2(x2)]max. (2)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f1(x1)>f2(x2)⇔[f1(x1)]max>[f2(x2)]min. (3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f1(x1)>f2(x2)⇔[f1(x1)]min>[f2(x2)]min. (4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f1(x1)>f2(x2)⇔[f1(x)]max>[f2(x)]max. (5)∃x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f1(x1)＝f2(x2)⇔f1(x)的值域与f2(x)的值域交集不为∅. [训练1]　已知两个函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，x∈[－3，3]，k∈R. (1)若对∀x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围； (2)若∃x∈[－3，3]，使得f(x)≤g(x)成立，求实数k的取值范围； (3)若对∀x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求实数k的取值范围． 解：(1)设h(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k，问题转化为x∈[－3，3]时，h(x)≥0恒成立，即h(x)min≥0，x∈[－3，3]. 令h′(x)＝6x2－6x－12＝0，得x＝2或x＝－1， 令h′(x)>0得－3≤x<－1或2<x≤3，令h′(x)<0得－1<x<2， ∴h(x)在[－3，－1)，(2，3]上单调递增，在(－1，2)上单调递减． ∵h(－3)＝k－45，h(－1)＝k＋7，h(2)＝k－20，h(3)＝k－9， ∴h(x)min＝k－45≥0，得k≥45.∴实数k的取值范围是[45，＋∞). (2)据题意：∃x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即为μ(x)＝g(x)－f(x)≥0在x∈[－3，3]上有解， ∴μ(x)max≥0，∴μ(x)max＝k＋7≥0，即k≥－7.∴实数k的取值范围是[－7，＋∞). (3)据题意，f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]，易设f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－3)＝－21，∴120－k≤－21，得k≥141.∴实数k的取值范围是[141，＋∞). 构造函数证明不等式的技巧 (1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数； (3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)≥A的不等式，可选x1(或x2)为主元，构造函数f(x，x2)(或f(x1，x))； (4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数； (5)赋值法：证明正整数不等式时，要把这些正整数放在正实数的范围内，通过构造正实数的不等式进行证明，而不能直接构造正整数的函数，因为这样的函数不是可导函数，使用导数就是错误的． [训练2]　已知函数f(x)＝ax＋b－ln x表示的曲线在点(2，f(2))处的切线方程x－2y－2ln 2＝0. (1)求a，b的值； (2)若f(x)≥kx－2对于x∈(0，＋∞)恒成立，求实数k的取值范围； (3)求证：n∈N*时，n(n＋1)≤2. (1)解：函数f(x)＝ax＋b－ln x的导数为f′(x)＝a－， 在点(2，f(2))处的切线方程x－2y－2ln 2＝0， 即有a－＝，解得a＝1， f(2)＝2a＋b－ln 2＝1－ln 2，解得b＝－1，则有a＝1，b＝－1. (2)解：f(x)≥kx－2对于x∈(0，＋∞)恒成立，即有x－1－ln x≥kx－2对于x∈(0，＋∞)恒成立， 即有k－1≤对于x∈(0，＋∞)恒成立． 令g(x)＝，g′(x)＝， 当x>e2时，g′(x)>0，g(x)在(e2，＋∞)上单调递增； 当0<x<e2时，g′(x)<0，g(x)在(0，e2)上单调递减． 则x＝e2时g(x)取得极小值，也为最小值，且为g(e2)＝－，即有k－1≤－，解得k≤1－.所以实数k的取值范围是(－∞，1－]. (3)证明：f(x)＝x－1－ln x(x>0)，f′(x)＝1－， 当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)在(0，1)上单调递减． 则x＝1时，f(x)取得极小值，也为最