模块复习课（一）导数及其应用 第1课时 导数的简单应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

[对应学生用书P141] 第1课时　导数的简单应用 [对应学生用书P141] 1．利用导数定义时，注意导数是平均变化率的极限值． 2．利用导数的意义时，注意某点处的导数值即为曲线在该点处切线的斜率． [训练1]　设函数f(x)为可导函数，且满足当x→0时→－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　) A．2　　　　　　　 B．－1 C．1 D．－2 B　解析：根据导数的定义可知当x→0时， ＝→－1， 即f′(1)＝－1， 而由导数的几何意义可知y＝f(x)点(1，f(1))处的切线斜率为－1. 导数运算法则的应用的注意点 (1)准确理解记忆运算法则，四个运算法则中除法的法则较为复杂，特别注意分子的连接符号是减号，容易错记为加号． (2)先化简变形再求导数，对于较为复杂的函数式，则遵循先化简后求导的原则，化简为基本初等函数的基本运算后求导． [训练2]　已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝＋2xf′(1)，则f′(1)－f′(－1)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．2 C　解析：由f(x)＝＋2xf′(1)，得f′(x)＝－＋2f′(1)，则f′(1)＝－1＋2f′(1)，解得f′(1)＝1.则f′(x)＝－＋2.则f′(－1)＝－1＋2＝1.故f′(1)－f′(－1)＝0. [训练3]　求下列函数的导数： (1)y＝；(2)y＝x2sin x. 函数的单调性与导数的关注点 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法． [训练4]　f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数a，b，若a＜b，则必有(　　) A．af(b)＜bf(a) B．bf(a)＜af(b) C．af(a)＜bf(b) D．bf(b)＜af(a) A　解析：令F(x)＝，则F′(x)＝. 又当x＞0时，xf′(x)－f(x)≤0，∴F′(x)≤0，∴F(x)在(0，＋∞)上单调递减． 又a＜b，∴F(a)＞F(b)，∴＞，∴bf(a)＞af(b). [训练5]　设f(x)＝a ln x＋，其中a为常数，讨论函数f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞). f′(x)＝＋＝. 当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a， 由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)， ①当a＝－时，Δ＝0， f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当a＜－时，Δ＜0，g(x)＜0， f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ③当－＜a＜0时，Δ＞0. 设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点， 则x1＝， x2＝， 由x1＝＝＞0， 所以当x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减， 当x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增， 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减， 综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减； 当－＜a＜0时，函数f(x)在(0，)，(，＋∞)上单调递减， 在(，)上单调递增． 1．极值和最值是两个迥然不同的概念，前者是函数的“局部”性质，而后者是函数的“整体”性质．另函数有极值未必有最值，反之亦然． 2．判断函数“极值”是否存在时，务必把握以下原则： (1)确定函数f(x)的定义域． (2)解方程f′(x)＝0的根． (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号：若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值．即导数的零点未必是极值点，这一点是解题时的主要失分点，学习时务必引起注意． 3．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值． (2)将(1)求得的极值与f(a)，f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值． [训练6]　已知函数f(x)＝－x3＋12x＋m. (1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差； (2)若函数y＝f(x)有三个零点，求m的取值范围； (3)当x∈[－1，3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值． 解：(1)f ′(x)＝－3x2＋12.当f ′(x)＝0时，x＝－2或x＝2. 当f ′(x)＞0时，－2＜