3.2.4 离散型随机变量的方差（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

3．2．4　离散型随机变量的方差 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．掌握两点分布、二项分布的方差公式． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 1．在学习离散型随机变量方差过程中，提升数学抽象的核心素养． 2．在求解离散型随机变量方差的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． [对应学生用书P112] 1．定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则D(X)＝E{[X－E(X)]2}＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn，则称D(X)为随机变量X的方差，并称为X的标准差．通常还用σ2表示方差D(X)，用σ表示标准差. 2．意义：方差或标准差越小，则随机变量的取值向数学期望集中得越好；反之，方差或标准差越大，则随机变量的取值就越分散． 1．两点分布：若X～B(1，p)，则D(X)＝p(1－p). 2．二项分布：若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 性质：若Y＝aX＋b，a，b为常数，则D(Y)＝a2D(X)． 结论：D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　) (2)若a是常数，则D(a)＝0.(　　) (3)离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2．设随机变量ξ的方差D(ξ)＝1，则D(2ξ＋1)的值为(　　) A．2　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 C　解析：因为D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×1＝4. 3．若某事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． 0．5　解析：事件在一次试验中发生次数记为X，则X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5. 4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2), D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好． 乙　解析：因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定． 5．已知随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 则X的标准差为________． 　解析：E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2， ∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56. ∴X的标准差为＝＝. [对应学生用书P113] 探究一　求离散型随机变量的方差、标准差 [知能解读]　对方差、标准差概念的几点说明 (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取值的稳定性和波动、集中与离散程度． (3)D(X)越小，随机变量X的取值就越稳定，波动就越小． (4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ). 解：ξ的所有可能取值为0，1，3. ξ＝0表示三名学生全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生，则P(ξ＝0)＝＝； ξ＝1表示三名学生只有1名学生坐对了，则P(ξ＝1)＝＝； ξ＝3表示三名学生全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 3 P E(ξ)＝0×＋1×＋3×＝1； D(ξ)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(3－1)2＝1. [训练1]　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测1件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测1件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列、数学期望和方差． 解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝. (2)X的可能取值为200，300，400. P(X＝200)＝＝，P(X＝300)＝＝， P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝， 故X的分布列为 X 200 300