3.2.2 第2课时 超几何分布（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

第2课时　超几何分布 课程内容标准 学科素养凝练 1．理解超几何分布及其推导过程． 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题． 通过对超几何分布的学习，培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． [对应学生用书P103] 一般地，若N件产品中有M件次品．任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，l.其中l＝min{M，n}，且M≤N，n≤N－M，n，M，N∈N＋.称分布列 X 0 1 … l P … 为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，就称X服从超几何分布，记作X～H(N,_M,_n)． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X服从超几何分布．(　　) (2)盒中有4个白球和3个黑球，有放回地摸取3个球，黑球的个数X服从超几何分布．(　　) (3)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　) (4)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　) A．N＝10，M＝4，n＝6 B．N＝10，M＝6，n＝4 C．N＝14，M＝10，n＝4 D．N＝14，M＝4，n＝10 A　解析：根据超几何分布概率模型知N＝10，M＝4，n＝6. 3．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个，这3个都是红球的概率是(　　) A．　　　B．　　　　C．　　　　D． B　解析：P＝＝. 4．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________． 　解析：X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P(X＝1)＝＝. [对应学生用书P104] 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布； (5)现有100台MP3播放器未经验测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布． [分析]　根据超几何分布的定义判断． 解：(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题． (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布． (5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的概率公布，所以不属于超几何分布问题． [方法总结]　判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 (1)总体是否可分为两类明确的对象； (2)是否为不放回抽样； (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． [训练1]　一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，问X是否服从超几何分布？ 解：不服从超几何分布． 因为随机变量X是否服从超几何分布，关键是看随机变量X的分布列是否由P(X＝k)＝确定，对应的N，M，n是多少． 本题随机变量X的可能取值为3，4，5，6. 不妨探讨“X＝4”与“X＝5”两种情况： “X＝4”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1，2，3号球中的2个”， 其概率P(X＝4)＝； “X＝5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1，2，3，4号球中的2个”， 其概率P(X＝5)＝. 显然仅从“X＝4”与“X＝5”两种情况就可看出随机变量X的分布不是由P(X＝k)＝确定的，所以随机变量X不服从超几何分布． [知能解读]　P(X＝k)＝的推导 从N件产品中任取n件产品的基本事件有C个；事件{X＝k}表示“在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有k件次品”，则必有(n－k)件正品，因此事件{X＝k}中含有CC个基本事件，由古典概型概率计算公式可知P(X＝k)＝. 袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有一个红球的概率． 解：由已知可得X的取值为0，1，2，3， X＝0表示取出的3个球全是黑球，P(X＝0)＝＝＝，同理P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)