3.2.1 离散型随机变量及其分布（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（湘教版2019）

3.2　离散型随机变量及其分布列 3．2.1　离散型随机变量及其分布 课程内容标准 学科素养凝练 1．通过具体实例，了解随机变量，离散型随机变量的概念． 2．理解随机变量的分布列，会求一些离散型随机变量的分布列． 1．在学习随机变量，离散型随机变量过程中，提升数学抽象的核心素养． 2．在求解离散型随机变量分布列的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． [对应学生用书P94] 1．随机变量概念 如果随机试验每一个可能结果e，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量． 随机变量通常用X，Y，ξ，η，…表示． 2．离散型随机变量：如果随机变量X的所有取值都可以逐个列举出来，则称X为离散型随机变量． 1．离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，其相应的概率为p1，p2, …pn， 记P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)，(*) 或把(*)式列成下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 上式或(*)式称为离散型随机变量X的概率分布列(简称为X的分布列 ) 2．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)离散型随机变量的取值是任意的实数．(　　) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(　　) (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(　　) (4)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应概率都相等．(　　) 答案 (1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．抛掷均匀硬币一枚，随机变量为(　　) A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 B　解析：掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故选B.而A项中抛掷次数是确定的，不是随机变量；C项中说法不明；选项D，出现正面和反面的次数之和为必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量． 3．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　) D　解析：本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1，2…，n，P(ξi)＝1. A中，ξ的取值出现了重复性； B中，P(ξ＝0)＝－<0； C中，P(ξi)＝＋＋＝>1. 4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m()k，k＝1，2，3，则m的值为________ . 　解析：P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1，解得m＝． [对应学生用书P95] 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 解：(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11. X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11. (2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11. X＝3，表示“取出标有1，2的两张卡片”； X＝4，表示“取出标有1，3的两张卡片”； X＝5，表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”； X＝6，表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”； X＝7，表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”； X＝8，表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”； X＝9，表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”； X＝10，表示“取出标有4，6的两张卡片”； X＝11，表示“取出标有5，6的两张卡片”． [变式]　若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ，请问ξ有哪些取值？其中ξ＝4表示什么含义？ 解：ξ的所有可能取值有1，2，3，4，5，共5个．ξ＝4表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”． [方法总结]　解答用随机变量表示随机试验结果问题的关键点和注意点 (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果． (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果 [训练1]　写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)一袋中装有5个同样